【含详细证明过程】变态跳台阶:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

【问题】一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

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思路:

跳 n 个台阶,可以有以下互斥的跳法(跳法数量记为ways[n]):
1. 跳到第 n-1 个台阶后,再一次跳 1 级,跳法有 ways[n-1];
2. 跳到第 n-2 个台阶后,再一次跳 2 级,跳法有 ways[n-2];
3. 跳到第 n-3 个台阶后,再一次跳 3 级,跳法有 ways[n-2];
……
n-1. 跳到第 1 个台阶后,再一次跳 n-1 级,跳法有 ways[1];
n. 一次跳 n 级,跳法有 1 种,即 ways[0] = 1

(这里可能有同学会有疑问,比如会问当跳到第 n-2 个台阶后,跳 2 次 1 级台阶,或者跳 1 次 2 级,应该有 ways[n-2] × 2 种,但是这样是错误的,因为在 n-2 跳了一次 1,就变成 n-1 问题了,与 n-1 问题是重叠的,所以每种跳法都是互斥的)

观察可得,

ways[n] = 1, 当 n = 0
ways[n] = ways[n-1] + ways[n-2] + ... + ways[0]

为了不超时,我们写迭代算法,以下为 JavaScript 代码;

function jumpFloorII(number)
{
    var ways = [1];
    for (var i = 1; i <= number; i++) {
        ways.push(0);
        for (var j = 0; j < i; j++) {
            ways[i] += ways[j];
        }
    }
    return ways[number];
}

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