算法笔记练习 9.2 二叉树的遍历 问题 B: 二叉树

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题目

题目描述

如上所示，由正整数1，2，3……组成了一颗特殊二叉树。我们已知这个二叉树的最后一个结点是n。现在的问题是，结点m所在的子树中一共包括多少个结点。

比如，n = 12，m = 3那么上图中的结点13，14，15以及后面的结点都是不存在的，结点m所在子树中包括的结点有3，6，7，12，因此结点m的所在子树中共有4个结点。

输入
输入数据包括多行，每行给出一组测试数据，包括两个整数m，n (1 <= m <= n <= 1000000000)。最后一组测试数据中包括两个0，表示输入的结束，这组数据不用处理。

输出
对于每一组测试数据，输出一行，该行包含一个整数，给出结点m所在子树中包括的结点的数目。

样例输入

3 7
142 6574
2 754
0 0

样例输出

3
63
498

思路

假设一个结点的编号是 $k$，显然它的左孩子结点编号是 $2k$，右孩子结点编号是 $2k+1$.

那么在一颗无限向下延伸的满二叉树里面，任意取一个结点编号 r，以该节点为根节点的子树，设它第 $n$ 层（根节点为第 $0$ 层）节点编号的范围是闭区间 $[left,right]$，$left$ 的值应当是 r *= 2 迭代 $n$ 次后的 r，$right$ 的值应当是 r = r * 2 + 1迭代 $n$ 次后的 r。

根据以上的结论，以及满二叉树结点数量的计算公式，可以快速得到本题答案，注意最后一层需要特殊处理，具体实现见下方代码。

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在用这个方法之前写了一个暴力递归的版本，超时了，也附在下面。

代码

AC 代码

#include 
using namespace std;
int m, n;
int count() {
	int left = m, right = m, cnt = 1;
	while (left * 2 <= n) {
		cnt *= 2;
		left *= 2;
		right = right * 2 + 1;
	}
	--cnt;
	if (n > left)
		cnt += min(n, right) - left + 1;
	return cnt; 
} 
int main() {
	while (scanf("%d%d", &m, &n) && (m || n))
		printf("%d\n", count());
	return 0;
}

递归累加（超时）

#include 
int m, n;
int count(int now) {
	if (now > n)
		return 0;
	return count(2 * now) + count(2 * now + 1) + 1;
} 
int main() {
	while (scanf("%d%d", &m, &n) && (m || n))
		printf("%d\n", count(m));
	return 0;
}