坐标换与雅克比矩阵 Jacobian

====================球面坐标系========================

它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。

显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] 

当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系: [1] 

x=rsinθcosφ.        y=rsinθsinφ.     z=rcosθ.

看成 球坐标到直角坐标的映射，（x,y,z） 都是因变量，x，y，z 全都关于 ，球坐标的三个变量求偏导数，那么有9个导，与三个因变量之一对应的三个偏导数排成一行，构成导数矩阵，叫做雅克比矩阵，当时方阵的时候，可以求行列式，则是的行列式称为  雅克比行列式 。

2).反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:

 

 

===========================雅克比矩阵==================================

假设

  

是一个从n维欧氏空间  映射到         m维欧氏空间          的函数。 这个函数由m个实函数组成：

    所做个向量。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：

 

 

球坐标到直角坐标的转换是这样一个函数映射，其雅克比矩阵可以写为：

 

 

 

考虑映射

 这是一个3维坐标到4维坐标的映射，其雅可比矩阵为:

 此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵；      一点理解：也就是说并不是维度相同的空间才可以坐标变换！