【详细过程】- 将n个球随机放入N个盒中，并且每个球放入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望[

定义随机变量 X_i 如下：

• 当第 i 个盒子中有球时 X_i =1,
• 当第 i 个盒子中无球时 X_i =0
  (i=1,2,3,…N)

则 Y=X₁+X₂+X₃+…+X_N 就是有球的盒子的个数。

由于每个球放进该盒子的概率为：1/N ；而不放入该盒子的概率为：(1-1/N) ；
每个是否放入该盒子相互独立

故N个球均不放入该盒子的概率为：(1-1/N)^N
而至少有一个球放入该盒子的概率为：1-(1-1/N)^N

由此得到 X_i 的分布律：
P{Xi=0}=(1-1/N)^N
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N

由数学期望的性质:
故 E(X_i)=0·(1-1/N)^N+1·[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,…N)

而 E(Y)=E(X₁)+E(X₂)+E(X₃)+…+E(X_N)
=N·[1-(1-1/N)^N]
即为所求.

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