关于运行时间中的对数

关于运行时间中的对数：

书中的翻译是这样的：如果一个算法用常数时间（O(1)）将问题的大小削减为其一部分（通常是1/2），那么该算法就是O（logN）。另一方面，如果使用常数时间只是把问题减少一个常数（如将问题减少1），那么这种算法就是O（N）的。

翻译很拗口，不过好在下面给出了三个例子：对分查找、欧几里得算法和取幂运算，再结合前面的最大子序列和问题，我的理解是这样的：无论是用循环还是递归，程序每次执行时都将变量减半(上面说的削减为一部分），并且循环和递归之外的语句是常数阶复杂度O（1），也就是有确定的执行次数，这样的程序往往是对数阶的。

至于原理，直观上来讲，比如开始变量为N，每次变为1/2，需要logN次就可以让变量从N变到1，此时也就是基准情况，所以执行次数就是logN了。更加准确的分析是使用递推公式，例如上面的最大子序列和，递归之外的语句复杂度为O（N），设求解大小为N时时间为T（N），可以列出递推公式：

T(1)=1;

T(N)=2T(N/2)+O(N);

把这里的O（N）用N代替可以算出T（N）=NlogN+N=O(NlogN)

当然这个程序是所谓的“分治”方法，复杂度为NlogN的，并不是logN，但分析方法都是类似的，即通过递推公式。

例如：最后的取幂运算问题，算法如下：

long int pow(long int x, unsigned int N)
{
if(N==0) return 1;
if(N==1) return X;
if(IsEven(N)) return Pow(X*X,N/2);
else return pow(X*X,N/2)*X;
}

这里面如果用乘法的次数衡量运行时间，或者连判断也算上，总之每次递归内部都是O（1），列出的递推式：

T(1)=1;

T(N)=T(N/2)+O(1);

把O（1）当1来算，可以得出来T(N)=logN+1=O（logN）。

不过这里通过递推得到公式都是写出前几项归纳的。。。至于真正怎么去算这个公式是数学问题。。书里预言了第七章会讲。。

（《数据结构与算法分析 C语言实现》Mark Allen Weiss