学习笔记·对于线段树双重标记的理解

在开始这个话题之前，先简略说明一下单个lazy标记的作用与意义（想详尽了解的话自行百度一下，有很多）。

lazy标记

• 作用：降低区间操作的复杂度
• 意义：lazy标记表示已对当前节点进行了相应修改，而暂时没有对其左右子节点进行修改
• 注意：一旦打了标记就要修改当前节点的值，标记只表明未修改其左右子节点，而非未修改当前节点。

双重标记

一些题有多种区间修改方式，仅用一个标记并不能很好的维护；不过，有了单个标记的思想，就可以将其拓展到多个标记了。

问题引入

多重标记中最常见的就是双重标记。每个标记的作用、意义都与单个标记时无异。当两个标记互不影响时，我们只需要按照单个标记那样一个个处理就好了，这里不再赘述。不过，当两个标记互相之间有影响时，会出现一个问题：两个标记的修改顺序是怎样的呢？以bzoj1798为例，假设线段树中的某个节点有一个区间加标记，还有一个区间乘标记，那么在修改及下放标记时，应该先加后乘，还是先乘后加呢（显然，这两种不同的操作会得到不同的解）？

思考

既然顺序不清，不妨就定义一个优先级吧！仍以上题为例：
定义同时存在两个标记时表示先乘后加。那么:

• 对一个无标记的节点打加标记：直接打上加标记，同时更新sum值
• 对一个无标记的节点打乘标记：直接打上乘标记，同时更新sum值
• 对一个已有乘标记的节点打加标记：直接打上加标记，同时更新sum值，由于下放标记时先下放的是乘标记，这样做是正确的
• 对一个已有加标记的节点打乘标记：问题出现了。如果直接打上乘标记，由于我们先下放的是乘标记，势必导致加操作和乘操作顺序混乱。那怎么办呢？其实，只要我们在打乘标记时修正一下加标记就OK了！根据乘法分配律， (原数+a)×b=原数×b+a×b ( 原 数 + a ) × b = 原 数 × b + a × b ，所以打乘标记b的同时将加标记a乘以b，这样就保证了标记正确。

总结

当涉及多重标记时，定义出标记的优先级，修改操作时用优先级高（先下放）的修正优先级低（后下放）的来保证标记的正确性。

例题

bzoj1798 [Ahoi2009]Seq 维护序列
luogu3373 【模板】线段树2
codevs4927 线段树练习5 题解