【编译原理】FIRST集和FOLLOW集

龙书上的定义：

FIRST

如果x是一个终结符，则FIRST(X) = X

如果x是一个非终结符，则$X\to Y_1{Y}_2{Y}_3\cdots Y_k$，其中$k\ge 1$。
$\exists i\in k,a\in FIRST(Y_i)且FIRST(Y_1)\cdots FIRST(Y_{i-1})$
$中都有ϵ则把a加入到FIRST(X)中$

并且可以有以下推论：

1. $FIRST(Y_1)\in FIRST(X)$
2. 如果$Y_1$不能推导出$ϵ$，则不会再往$FIRST(X)$中添加任何元素

FOLLOW

如果$S$是开始符，则$\varsigma \in F,\varsigma$是输入右端的结束标记。

如果有$A\to \alpha B\beta$，那么$FIRST(\beta )$中除了$ϵ$之外的所有符号都在$FOLLOW(B)$中。

如果有$A\to \alpha B$，或$A\to \alpha B\beta$且$FIRST(\beta )$包含$ϵ$。则$FOLLOW(A)$的所有符号都在$FOLLOW(B)$中。

自己的理解

FIRST

1. 终结符的FIRST就是自己
2. 对于产生式，如果最左边的能推导出$ϵ$，则再开始推第二个，并把最左边的FIRST并到自己的FIRST里。

FOLLOW

1. 产生式的右边如果存在，则把FIRST(右边)中除了$ϵ$之外所有的符号加入FOLLOW(自己)
2. 如果产生式的右边能推导出$ϵ$，或者不存在，则产生式左边的FOLLOW也在自己的里面。

例子

$G[S]:$

$E\to T{E}^{{}^{\prime }}$ (1)
$E^{{}^{\prime }}\to +T{E}^{{}^{\prime }}|ϵ$（2）
$T\to F{T}^{{}^{\prime }}$(3)
$T^{{}^{\prime }}\to \ast F{T}^{{}^{\prime }}|ϵ$（4）
$F\to (E)|id$（5）

推导FIRST

由(5)明显易得：

1. FIRST(F)={ ( ,id } 因为是终结符
   所以：
2. FIRST(T) = FIRST(F) 因为（3），最左边的元素，且FIRST(F)里没有$ϵ$
   同理根据(1)可得
3. 所以FIRST(E) = FIRST(T) = FIRST(F)

也由(4)明显易得：
FISRT($T^{{}^{\prime }}$) = { *,$ϵ$ }
同理（2）
FISRT($E^{{}^{\prime }}$) = { +,$ϵ$ }

推导FOLLOW

因为E是开始符，并且由(5)得到FOLLOW(E) = { ) , $ }
由(1)可得 FOLLOW($E^{{}^{\prime }}$) = FOLLOW(E)
由(2)可得FOLLOW(T)中一定有FIRST($E^{{}^{\prime }}$)
所有FOLLOW(T)中一定有’+’
且FIRST($E^{{}^{\prime }}$)中存在$ϵ$，并且(1)产生式的左边是E
所以FOLLOW(T)={ +,),$ }
所以FOLLOW($T^{{}^{\prime }}$) = FOLLOW(T)
有(3),(4)可得
FOLLOW(F) = { ) , + , * , $ }