AtCoder Beginner Contest 110 D - Factorization

D - Factorization

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Time limit : 2sec / Memory limit : 1024MB

Score : 400 points

Problem Statement

You are given positive integers N and M.

How many sequences a of length N consisting of positive integers satisfy a1×a2×…×aN=M? Find the count modulo 109+7.

Here, two sequences a' and a'' are considered different when there exists some i such that ai'≠ai''.

Constraints

• All values in input are integers.
• 1≤N≤105
• 1≤M≤109

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Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M

Output

Print the number of the sequences consisting of positive integers that satisfy the condition, modulo 109+7.

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Sample Input 1

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2 6

Sample Output 1

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4

Four sequences satisfy the condition: {a1,a2}={1,6},{2,3},{3,2} and {6,1}.

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Sample Input 2

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3 12

Sample Output 2

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18

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Sample Input 3

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100000 1000000000

Sample Output 3

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957870001

这题当时没做出来，当时不会用隔板法，后来去查了隔板数学方法，也就把这道题写出来了。

所以做这个题前，要掌握两个知识点——隔板法和逆元

因为逆元简单多见，隔板法少见，所以这里我就来说说隔板法，先来看一个问题

将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

 

 

给个图引导一下就明白了

 

那么，这题中盒子可以为空，也就是说可以产生||和|||等的现象，这显然不太好计算

那我们补3个球，这样我们只要考虑3+20个球之间三块板的位置在哪里就好了，也就是两个球之间的板有或没有

间距有3+20-1=22个，插入两块板，也就是C(22,2)

然后每一种情况都可以获得3堆球x，y，z

那么球的真实数量是x-1，y-1，z-1

 

明白了隔板法我们来看这题

（1）首先任何一个大于1的整数都可以分解为p1^a1*p2^a2*……pn^an(p为素数序列，n>=1)

  (2)  我们知道一个素数p的个数为a，我们要把这a个p分成n份，我们就要用到上面说的隔板法，所以的到的结果是C（n+a-1，n-1）

（3）把这些组合数乘起来就是我们要的结果，因为有除法在其中，所以要用到逆元

 

#include
const int mod=1000000007;
long long power(long long a,int k){
    long long ans=1,y=a;
    while(k){
        if(k%2)
            ans=ans*y%mod;
        y=y*y%mod;
        k=k/2;
    }
    return ans;
}
long long fun[1<<17],ans=1;
int main(){
    long long n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    fun[0]=1;
    for(int i=1;i<1<<17;i++){
        fun[i]=fun[i-1]*i%mod;
    }
    for(int i=2;i*i<=m;i++){
        if(m%i==0){
            long long s=0;
            while (m%i==0) {
                m=m/i;
                s++;
            }
            ans=ans*fun[n+s-1]%mod*power(fun[n-1], mod-2)%mod*power(fun[s], mod-2)%mod;
        }
    }
    if(m>1)
        ans=ans*n%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}