给定一个整数数组 nums
,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的分治法求解。
这道题求解连续最大子序列和,以下从时间复杂度角度分析不同的解题思路。
解法一 - 暴力解 (暴力出奇迹, 噢耶!)
一般情况下,先从暴力解分析,然后再进行一步步的优化。
原始暴力解:(超时)
求子序列和,那么我们要知道子序列的首尾位置,然后计算首尾之间的序列和。用2个for循环可以枚举所有子序列的首尾位置。 然后用一个for循环求解序列和。这里时间复杂度太高,O(n^3)
.
复杂度分析
O(n^3) - n 是数组长度
O(1)
解法二 - 前缀和 + 暴力解
优化暴力解: (震惊,居然AC了)
在暴力解的基础上,用前缀和我们可以优化到暴力解O(n^2)
, 这里以空间换时间。 这里可以使用原数组表示prefixSum
, 省空间。
求序列和可以用前缀和(prefixSum
) 来优化,给定子序列的首尾位置(l, r),
那么序列和 subarraySum=prefixSum[r] - prefixSum[l - 1];
用一个全局变量maxSum
, 比较每次求解的子序列和,maxSum = max(maxSum, subarraySum)
.
复杂度分析
O(n^2) - n 是数组长度
O(n) - prefixSum 数组空间为n
如果用更改原数组表示前缀和数组,空间复杂度降为
O(1)
但是时间复杂度还是太高,还能不能更优化。答案是可以,前缀和还可以优化到O(n)
.
解法三 - 优化前缀和 - from @lucifer (不太理解,有点晕)
我们定义函数 S(i)
,它的功能是计算以 0(包括 0)
开始加到 i(包括 i)
的值。
那么 S(j) - S(i - 1)
就等于 从 i
开始(包括 i)加到 j
(包括 j)的值。
我们进一步分析,实际上我们只需要遍历一次计算出所有的 S(i)
, 其中 i = 0,1,2....,n-1。
然后我们再减去之前的 S(k)
,其中 k = 0,1,i - 1
,中的最小值即可。 因此我们需要 用一个变量来维护这个最小值,还需要一个变量维护最大值。
复杂度分析
O(n) - n 是数组长度
O(1)
解法四 - 分治法
我们把数组nums
以中间位置(m
)分为左(left
)右(right
)两部分. 那么有, left = nums[0]...nums[m - 1]
和 right = nums[m + 1]...nums[n-1]
最大子序列和的位置有以下三种情况:
nums[m]
, 跨越左右两部分,这里从中间元素开始,往左求出后缀最大,往右求出前缀最大, 保持连续性。分别求出三种情况下最大子序列和,三者中最大值即为最大子序列和。
举例说明,如下图:
复杂度分析
O(nlogn) - n 是数组长度
O(logn)
- 因为调用栈的深度最多是logn。解法五 - 动态规划
动态规划的难点在于找到状态转移方程,
dp[i] - 表示到当前位置 i 的最大子序列和
状态转移方程为: dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])
初始化:dp[0] = nums[0]
从状态转移方程中,我们只关注前一个状态的值,所以不需要开一个数组记录位置所有子序列和,只需要两个变量,
currMaxSum - 累计最大和到当前位置i
maxSum - 全局最大子序列和
:
currMaxSum = max(currMaxSum + nums[i], nums[i])
maxSum = max(currMaxSum, maxSum)
如图:
复杂度分析
O(n) - n 是数组长度
O(1)
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
maxnum = nums[0]
for i in range(len(nums)):
sumnum = 0
for j in range(i, len(nums)):
sumnum += nums[j]
maxnum = max(maxnum, sumnum)
return maxnum
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector& nums) {
int maxnum = nums[0];
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
int sumnum = 0;
for(int j = i; j < nums.size(); j++)
{
sumnum += nums[j];
maxnum = max(sumnum, maxnum);
}
}
return maxnum;
}
};
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
maxSum = nums[0]
minSum = sum = 0
for i in range(n):
sum += nums[i]
maxSum = max(maxSum, sum - minSum)
minSum = min(minSum, sum)
return maxSum
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
#递归终止条件
if n == 1:
return nums[0]
else:
#递归计算左半边最大子序和
max_left = self.maxSubArray(nums[0:len(nums) // 2])
#递归计算右半边最大子序和
max_right = self.maxSubArray(nums[len(nums) // 2:len(nums)])
#计算中间的最大子序和,从右到左计算左边的最大子序和,从左到右计算右边的最大子序和,再相加
max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
tmp += nums[i]
max_l = max(tmp, max_l)
max_r = nums[len(nums) // 2]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
tmp += nums[i]
max_r = max(tmp, max_r)
#返回三个中的最大值
return max(max_right,max_left,max_l+max_r)
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
curmaxsum = 0
maxsum = nums[0]
for i in range(len(nums)):
curmaxsum = max(curmaxsum + nums[i], nums[i])
maxsum = max(maxsum, curmaxsum)
return maxsum
C++
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector& nums) {
int curmaxsum = 0;
int maxsum = nums[0];
for(int i=0; i