C语言数据结构-算法

1.算法的定义

算法：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的优先序列，并且每条指令表示一个或多个操作。（算法是描述解决问题的方法。）

2.算法的特性

1. 输入输出
   算法具有零个或多个输入。如打印“hello world！”不需要任何输入参数。
   即算法可以没有输出，但一定要有输入。
2. 有穷性
   有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成
   当然，在现实生活中，如果一个算法需要好几年才能完成，那数学意义上是有穷的，但是算法的意义也就不大了。
3. 确定性
   确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
   算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。
4. 可行性
   可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
   可行性意味着算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果。

3.算法设计的要求

1. 正确性
   正确性：指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
   大体分为以下四个层次：
   1.算法程序没有语法错误。
   2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
   3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
   4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
2. 可读性
   可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
   算法主要是为了人的阅读和交流，其次才是机器执行。可读性好有助于人对算法的理解；晦涩难懂的程序易于隐藏较多错误，难以调试和修改。
3. 健壮性
   健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
   例如，输入的时间或距离不应该是负数。
4. 时间效率高和存储量低
   时间效率：指的是算法的执行时间。
   存储量需求：指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。
   设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

4.算法效率的度量方法

• 事后统计方法
  事后统计方法：主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
  该方法具有很大的缺陷：
  1.必须先运行依据算法编制的程序；
  2.所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的劣势。

• 事前分析估算方法
  事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
  一个高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：
  1.算法采用的策略、方法。（是算法好坏的根本）
  2.编译产生的代码质量。（要有软件来支持）
  3.问题的输入规模。（指输入量的多少）
  4.机器执行指令的速度。（要看硬件性能）
  例如以下两种算法：

int i,sum = 0,n=100;      // 执行1次
for(i=1;i<=n;i++)         // 执行了n+1次
{
	sum = sum + i;        // 执行n次
}
printf("%d",sum);         // 执行1次

执行了1+(n+1)+n+1次=2n+3次

int sum = 0,n = 100;      // 执行一次
sum = (1 + n) * n/2;      // 执行一次
printf("%d",sum);         // 执行一次

执行了1+1+1=3次
显然第二个算法更好。
测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。运行时间与这个计数成正比。
最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

5.函数的渐进增长

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。
一般来说，具有以下结论：

1. +3、+1之类的加法常数可以忽略。
2. 与最高次项相乘的常数并不重要。
3. 最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。
4. 判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
5. 某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

6.算法时间复杂度

1. 算法时间复杂度定义
   算法时间复杂度定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T（n）=O（f（n））。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度 。其中f（n）是问题规模n的某个函数。
   用大写O( ）来体现算法时间复杂度的记法，成为大O记法。
   一般情况下，随着n的增大，T（n）增长最慢的算法为最优算法。

   • O(1) 称为 常数阶
   • O(n) 称为 线性阶
   • O(n²) 称为 平方阶

2. 推导大O阶方法
   推导大O阶方法：1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。 得到的结果就是就是大O阶。

3. 常数阶
   不管常数为多少，都记作O(1)，
   而不是O(3)、O(4)等其他任何数字。

4. 线性阶
   分析循环结构的运行情况是分析算法复杂度的关键。
   例如以下代码的时间复杂度为O(n)

int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
	某个时间复杂度为O(1)的步骤   // 执行了n次
}

5. 对数阶

int count = 1;
while(count < n)
{
	count = count * 2;
	某个时间复杂度为O(1)的步骤
}

分析：由于每次count * 2 之后，就距离n更近，也就是说，x 个2相乘后就会大于 n 并退出循环。由2^x=n 得 x=log2(n)。所以以上代码的时间复杂度为O(log(n))。

6. 平方阶
   有多个循环时，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
   例如以下代码：

int i,j；
for（i=0；i<n；i++）
{
	for（j=i；j<n；j++）
	{
		时间复杂度为O(1)的步骤
	}
}

总的执行次数为n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=(n²/2)+(n/2) ，可得该段代码的时间复杂度为O(n²)。

一般来说：
O(1)＜O(log(n))＜O(n)＜O(nlog(n))＜O(n²)＜O(n³)＜O(2ⁿ)＜O(n!)＜O(nⁿ)

7.其他

最坏情况是一种保证，指运行时间不会再坏了。再应用中，这是一种最重要的需求，除非特别指定，否则我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。