透视摄像机模型

最常用的透视相机模型是假设一个针孔投射系统，图像由来自物体的光线穿过透镜中心（投影中心）的交叉形成，并存在一个焦平面。

记 P=[X,Y,Z]T 为相机坐标系下一个实物点的物理坐标， p=[u,v]T 为其投影图像的图像坐标（像素），C为相机的光心，即投影中心。
从3D世界到2D图像的映射由透视投影方程给出：

λ⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=KP=⎡⎣⎢αu000αv0u0v01⎤⎦⎥⎡⎣⎢XYZ⎤⎦⎥(1)

X,Y,Z: 点在相机坐标系下的物理坐标
u,v: 点的投影在图像中的图像坐标（像素）
u0,v0: 投影中心在图像中的图像坐标（像素）
αu,αv: 焦距，在此公式中包含物理坐标对图像坐标的转换，单位为像素
λ: 深度因子，从公式中易看出 λ=z ，即物点距光心的距离

对此公式的理解包含两步：1、3D坐标与2D坐标的转换，2、物理坐标对图像坐标的转换

1、3D坐标转2D坐标
如图，设物理点 Q(X,Y,Z) 在投影图像上的坐标为 q(x,y) ， f 为物理焦距

不考虑长度与像素的转换以及投射中心的偏移，则有

x=f(XZ)(2)

y=f(YZ)(3)

2、物理坐标对图像坐标的转换
如图， (u,v) 为图像像素坐标（行数和列数）， (u0,v0) 为图像主点的图像坐标，设 (x,y) 为以图像主点为原点的以物理单位表示的坐标。

则有

u=xdx+u0(4)

v=ydy+v0(5)

其中 dx,dy 分别表示每个像素在x轴和y轴上的物理尺寸，单位为毫米/像素。
写成矩阵形式为

⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1dx0001dy0u0v01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥(6)

其逆关系表示为

⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢dx000dy0−u0dx−v0dy1⎤⎦⎥⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥(7)

综上，从 (1) 中得到

u=αuzX+u0(8)

v=αvzY+v0(9)

结合 (2)(3)(4)(5)(8)(9) ，可得

αu=fdx

αv=fdy

此为对 (1) 中 αu 和 αv 的理解

参考文献：
1. D. Scaramuzza and F. Fraundorfer, “Visual Odometry, Part I: The First 30 Years and Fundamentals [Tutorial],” IEEE RAM, 2011.
2. http://www.360doc.com/content/14/0410/14/10724725_367760675.shtml