如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小

高斯函数与高斯滤波

一维高斯函数我们都熟悉，形式如下：

$$G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2})$$

计算机视觉中，高斯滤波使用的高斯核为$x$和$y$两个一维高斯的乘积，两个维度上的标准差$\sigma$通常相同，形式如下：

$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp (-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})$$

高斯滤波（平滑），即用某一尺寸的二维高斯核与图像进行卷积。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯曲面进行离散采样和归一化得出，这里，归一化指的是卷积核所有元素之和为1，下图为标准高斯和$\sigma =1.4$大小为$5\times 5$的高斯核。

标准差

当$\mu =0$时，唯一需要控制的参数就是标准差$\sigma$，多少合适呢？$\sigma$的确定十分依赖于问题背景，需要具体问题具体分析。但理解$\sigma$的作用，可以指导调整的方向。

高斯核可以看成是与中心距离负相关的权重。平滑时，调整$\sigma$实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，调大$\sigma$即提高了远处像素对中心像素的影响程度，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随$\sigma$变化的曲线如下：

从频域角度看，高斯函数的傅立叶变换仍是高斯，两者标准差间的关系如下：

$${\sigma }_x=\frac{1}{2\pi {\sigma }_w}$$

其中，${\sigma }_x$为空域高斯的标准差，${\sigma }_w$为对应频域高斯的标准差，在空域进行高斯平滑相当于频域低通滤波，${\sigma }_x$越大，${\sigma }_w$越小，频域高斯越集中，高频成分削弱得越多，图像越平滑。

从低通滤波角度考虑，可以对图像做傅立叶变换进行频谱分析，叠加上频域高斯并调整查看效果，找到适合的${\sigma }_w$，再推算出空域高斯所需的${\sigma }_x$。

窗口大小

标准差$\sigma$确定后，接下来需要确定窗口大小。上面讲了高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，但多远算远呢？

钟型曲线在区间$(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$范围内的面积占曲线下总面积的$68\%$，$(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma )$范围占$95\%$，$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$范围占$99.7\%$，一般$3\sigma$外的数值已接近于0，可忽略，半径为$3\sigma$即窗口大小为$6\sigma \times 6\sigma$即可，通常取最近的奇数。上述3个范围在一维和二维高斯中示意如下：

OpenCV中标准差与窗口大小的换算

在OpenCV函数createGaussianFilter中，若未指定窗口大小，通过$\sigma$推算窗口大小方式如下，半径为$\sigma$的3或4倍：

若指定了窗口大小，但未指定$\sigma$大小，则通过窗口大小推算$\sigma$的方式如下：

$$\sigma =0.3\times ((ksize-1)\times 0.5-1)+0.8$$

具体地，在函数getGaussianKernel中，当ksize不大于7时，直接从内部的$smal{l}_{g}aussia{n}_{t}ab$取对应大小的高斯核，若大于7，则使用上式计算出$\sigma$然后套用高斯公式，最后再归一化。

在实际使用时，为了高效，卷积核通常取$[0,255]$范围内的整数（1个Byte），因此高斯核中心最大取值为255时，窗口尺寸的选取只需让高斯核边界值刚好大于0即可。令高斯核尺寸为$n$，半径为$r$，$r=\frac{n-1}{2}$，高斯核$x$轴上边界$(r,0)$处与中心$(0,0)$处数值之比如下：

$$\frac{G(r,0)}{G(0,0)}=\exp (-\frac{r^2}{2\times (0.3(r-1)+0.8{)}^2})$$

当$r$足够大，其极限为$\exp (-\frac{1}{2\times 0.3^2})=0.00386592$，若中心值为255，则边界值为$255\ast 0.00386592=0.9858096\approx 1$，是合适的。但公式是如何设计出来的还不清楚，这里只是校验了其性质，sigh。

参考

• getGaussianKernel
• Calculate the Gaussian filter’s sigma using the kernel’s size
• Gaussian blur
• Gaussian Blur - Standard Deviation, Radius and Kernel Size
• How to determine the window size of a Gaussian filter
• Optimal Gaussian filter radius
• Fast Almost-Gaussian Filtering
• Gaussian Smoothing

本文出自本人博客：如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小