剑指Offer面试题51：数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

示例1

输入 1,2,3,4,5,6,7,0

输出 7

解题思路：首先想到的方法一般不是最优的解法（遍历比较的方法O(n^2)的时间复杂度）。仔细发现规律，本题考察的是归并排序算法的应用。
看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。 

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。参考代码如下2：

解题代码：

         1.

         2. 这个没通过，下面的通过了

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector data) {
        int length=data.size();
        if(length<=0)
            return 0;
        //vector copy=new vector [length];
        vector copy;  //辅助数组
        for(int i=0;i& data,vector& copy,int start,int end)
    {
        if(start==end)
        {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
        }
        int length=(end-start)/2;
        long long left =InversePairsCore(copy,data,start,start+length);//注意这里的参数改变
        long long right=InversePairsCore(copy,data,start+length+1,end);
        
        int i=start+length;
        int j=end;
        int indexcopy=end;
        long long count=0;
        while(i>=start && j>=start+length+1)
        {
            if(data[i]>data[j])
            {
                copy[indexcopy--]=data[i--];
                count=count+j-start-length;   //count=count+j-(start+length+1)+1;
            }
            else
            {
                copy[indexcopy--]==data[j--];
            }
        }
        for(;i>=start;i--)
            copy[indexcopy--]=data[i];
        for(;j>=start+length+1;j--)
            copy[indexcopy--]=data[j];
        return left+right+count;
    }
};

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector data) {
       int length=data.size();
        if(length<=0)
            return 0;
       //vector copy=new vector[length];
       vector copy;
       for(int i=0;i &data,vector ©,int start,int end)
    {
       if(start==end)
          {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
          }
       int length=(end-start)/2;
       long long left=InversePairsCore(copy,data,start,start+length);
       long long right=InversePairsCore(copy,data,start+length+1,end); 
        
       int i=start+length;
       int j=end;
       int indexcopy=end;
       long long count=0;
       while(i>=start&&j>=start+length+1)
          {
             if(data[i]>data[j])
                {
                  copy[indexcopy--]=data[i--];
                  count=count+j-start-length;          //count=count+j-(start+length+1)+1;
                }
             else
                {
                  copy[indexcopy--]=data[j--];
                }          
          }
       for(;i>=start;i--)
           copy[indexcopy--]=data[i];
       for(;j>=start+length+1;j--)
           copy[indexcopy--]=data[j];       
       return left+right+count;
    }
};

 

 

PS： 归并排序和快速排序这两个算法十分重要，有很多应用的场合，一定要重点掌握！！！

归并排序主要是分治的思想；快速排序主要是Parition函数应用，Parition函数是找到一个数字在数组中的正确索引位置的函数。