NOI 7624 山区建小学（动态规划）

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

 

题意：

 在n个村庄中间建m个小学，求每个村庄到最近小学的最近路之和，下面就叫花费把，说这顺口

思路：明显的动态规划，dp[i][j]表示在前i个村庄中间建立j个小学的花费，就是在前面（1，k）建立j-1个小学，在（k+1，n）建立1个小学，他们的花费最小，很显然想求dp[i][j],那么肯定要先求出dp[k][j - 1]，典型的动态规划

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//  main.cpp
//  山区建小学
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//

#include 
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[505][505], dis[505][505], f[505][505];
int a[505];
int diss(int a, int b) {//在区间（a, b)建小学，最优就是建在(a + b )/2这个位置上，可证，但这里太小，写不下，我就不写了
    int m = (a + b) >> 1;
    int x = 0;
    for (int i = a; i <= b; i ++) {
        x += dis[i][m];
    }
    return x;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        cin >> dis[i][i + 1];
        dis[i][i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = i + 1; j <= n; j ++){
            dis[i][j] = dis[i][j - 1 ] + dis[j - 1][j];//两两村庄之间的距离
            dis[j][i] = dis[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = diss(i, j);//在i，j这个村庄区间建立一个小学的花费
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            dp[i][j] = inf;//先把dp初始化
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        dp[i][i] = 0;//这个也得初始化，n个村庄n个小学，花费一定为0
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        dp[i][1] = f[1][i];//先求出1个小学的花费
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        for (int j = 2; j <= min(i, m); j ++) {//j = min（i， m） 小学数不会超过村庄数
            for (int k = j - 1; k <= i - 1; k ++) {//从j-1开始枚举
                if (i != j) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + f[k + 1][i]);//dp[k][j - 1]前k个村庄j-1个小学的花费，f[k + 1][i]k+1到i村庄之间有一个小学的花费
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;//输出dp[n][m]
    return 0;
}