算法导论 第7章 课后习题

转自http://www.cnblogs.com/bigrabbit/archive/2012/06/08/2541356.html，中间有新增

7.2-4 银行经常按照交易时间，来记录有关某一账户的交易情况，但是，很多人喜欢按照票据号来收到其银行对账单。因此，如何将按交易时间排序转换成按支票编号来排序，就成为一个对几乎排好序的输入进行排序的问题。证明在这个问题上，过程INSERT_SORT的性能往往优于过程QUIKSORT。

    问题解析：

    对于QUIKSORT来说，输入一个已排序的数组属于最坏的情况，则每次区间划分都是最大程度的不对称。其算法运行的递归时间为T(n) = T(n-1) + Θ(n)， 算法时间复杂度为Θ(n^2)； 而对INSERT-SORT来说，输入一个已排序的数组却属于最佳的情况，算法时间复杂度为O(n)。也就是说当输入一个几乎排好序的数组，快速排序趋于最坏的情况，而插入排序却趋于最佳的情况。为降低这种最坏情况出现的概率，采用快速排序随机化版本，期望的运行时间为O(nlgn)。

 

7.3-2 在过程RANDOMIZED_QUIKSORT的运行过程中，最坏情况下对随机排序产生器RANDOM调用了多少次？最佳情况下调用了多少次？以Θ记号形式个给出你的答案。

   问题分析：

        随机快速排序中，只要区间包含元素数目大于1，则需调用RANDOMIZED-PARTITION,选取主元（pivot）进行区间划分， 而主元的选取需调用Random。主元（pivot）一旦被选出来后，就不会在加入到后续的排序了。直白来说就是， 有多少次主元（pivot）选取就有多少次随机数生成 。另一方面从算法的递归二叉树树上来看，递归树二叉树的 非叶子节点 可表示一个主元（pivot）； 而叶子节点分为两种，一种节点是包含0个元素，另一种节点是包含1个元素(这一点比较抽象，下面用图说明) ，而且叶子结点元素不是主元（pivot）。 非叶子节点（主元）和包含1个元素的叶子节点的数目之和就是输入序列的大小n 。即递归树的非叶子节点（主元）的数目就是调用RANDOM的次数。调用RANDOM次数T(RANDOM)≤n，即T(RANDOM)=O(n)。

　　又根据二叉树的性质， 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为a，而度数为2的结点（非叶子节点）总数为b，则a=b+1；对于快速排序的递归二叉树中， 非叶子节点度数均为2。假设含有0个元素的叶子节点数目a0（≥0），含有1个元素的叶子节点数目为a1，所以 b =a-1 ≥ a1 - 1；又b+a1 = n，可得 b ≥ n/2 - 1 ，即T(RANDOM)=Ω(n)。   

　　总的来说T(RANDOM)= Θ(n) 

我的理解：图示：

假定对4,3,4,1,6,5,7,8这个数列做快速排序，将第一个元素做为主元，则第一次选主元为4，将数列分成13,4和6,5,7,8两段。第二次选主元，1，3，4的主元为1。6，5,7,8的主元为6，一直选主元到最后，就如上图所示。可以看出，叶子结点不是主元，比如4,8不是主元，因为数组只有一个元素之后，partition不执行划分取主元。

现在开始考考O(n)和 Θ (n)。

假定一个数组的元素个数为n则n=非叶子节点（主元）（4,1,3,6,5,7）+包含1个元素的叶子节点数目（4，8）

则有，T(RANDOM)≤n，即 T(RANDOM)=O(n) 。

又根据二叉树的性质，对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为a，而度数为2的结点（非叶子节点）总数为b，则a=b+1；则全部结点数为a+b=b+1+b=2b+1>=n.

所以，b ≥ n/2 - 1。

总的来说T(RANDOM)=Θ(n)