数据结构与算法分析（一） —— 深入理解递归算法的调用过程

1、经典例程

#include
void up_and_down(int);
int main(void)
{
   up_and_down(1);
   return 0;
}
void up_and_down(int n)
{
    printf("Level %d:n location %p\n",n,&n); /* 1 */
    if(n<4)
      up_and_down(n+1);
    printf("Level %d:n location %p\n",n,&n); /* 2 */
}

输出结果
Level 1:n location 0240FF48
Level 2:n location 0240FF28
Level 3:n location 0240FF08
Level 4:n location 0240FEE8
Level 4:n location 0240FEE8
Level 3:n location 0240FF08
Level 2:n location 0240FF28
Level 1:n location 0240FF48

（1）首先， main() 使用参数 1 调用了函数up_and_down() ，于是 up_and_down() 中形式参数 n 的值是 1, 故打印语句 #1 输出了 Level1 。

（2）然后，由于 n 的数值小于 4 ，所以 up_and_down() （第 1 级）使用参数 n+1 即数值 2 调用了 up_and_down()( 第 2 级 ). 使得 n 在第 2级调用中被赋值 2, 打印语句 #1 输出的是 Level2 。与之类似，下面的两次调用分别打印出 Level3 和 Level4 。

（3）当开始执行第 4 级调用时， n 的值是 4 ，因此 if 语句的条件不满足。这时候不再继续调用 up_and_down() 函数。第 4 级调用接着执行打印语句 #2 ，即输出 Level4 ，因为 n 的值是 4 。现在函数需要执行 return 语句，此时第 4 级调用结束，把控制权返回给该函数的调用函数，也就是第 3 级调用函数。第 3 级调用函数中前一个执行过的语句是在 if 语句中进行第 4 级调用。因此，它继续执行其后继代码，即执行打印语句 #2，这将会输出 Level3。当第 3 级调用结束后，第 2 级调用函数开始继续执行，即输出Level2 ．依次类推．

注意，每一级的递归都使用它自己的私有的变量 n ．可以查看地址的值来证明．

2、递归的基本原理

（1）每一次函数调用都会有一次返回．当程序流执行到某一级递归的结尾处时，它会转移到前一级递归继续执行．

（2）递归函数中，位于递归调用前的语句和各级被调函数具有相同的顺序．如打印语句 #1 位于递归调用语句前，它按照递归调用的顺序被执行了 4 次．

（3）每一级的函数调用都有自己的私有变量．

（4）递归函数中，位于递归调用语句后的语句的执行顺序和各个被调用函数的顺序相反．

（5）虽然每一级递归有自己的变量，但是函数代码并不会得到复制．

（6）递归函数中必须包含可以终止递归调用的语句．

3、最大子序列和问题

虽然这个问题有O(N)算法，但为了强调递归算法的调用过程，我们还是介绍下下述递归算法

private static int maxSumRec( int [ ] a, int left, int right )
{
    int maxLeftBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0;
    int leftBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    int center = ( left + right ) / 2;

    if( left == right )  // Base case
        return a[ left ] > 0 ? a[ left ] : 0;

    int maxLeftSum  = maxSumRec( a, left, center );
    int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );

    for( int i = center; i >= left; i-- )
    {
        leftBorderSum += a[ i ];
        if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }

    for( int i = center + 1; i <= right; i++ )
    {
        rightBorderSum += a[ i ];
        if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }

    return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );
}

private static int max3( int a, int b, int c )
{
    return a > b ? a > c ? a : c : b > c ? b : c;
}

public static int maxSubSum3( int [ ] a )
{
    return a.length > 0 ? maxSumRec( a, 0, a.length - 1 ) : 0;
}

以输入序列[4 -3 5 -2 -1 2 6 -2]为例，我们分析上述例程的过程：

（1）调用35行maxSubSum方法，从而在行37调用maxSumRec(a, 0, 7)，进入第一级maxSumRec，然后执行行3-9，调用maxSumRec(a, 0, 3)，进入第二级maxSumRec，然后再次执行行3-9，调用maxSumRec(a, 0, 1)，进入第三级maxSumRec，然后执行行3-9，调用maxSumRec(a, 0, 0)，进入第四级maxSumRec，执行行7-8，返回maxLeftSum=a[0]，并返回到第三级maxSumRec。

（2）此时，指令位置在第三级maxSumRec行10之后，left=0，center=1，right=3，在第三级中顺序执行行11，调用maxSumRec(a, 2, 3)，进入新第一级maxSumRec，然后执行行3-9，调用maxSumRec(a, 2, 2)，进入新第二级maxSumRec，执行行7-8，返回maxLeftSum=a[2]，