noip提高组写题心得——贪心4例

例1：火柴排队

这道题的话关系到一个叫排序不等式的东东，额这个东西的话其实我并没有学过，但是上网查一查，贴个证明下来：

②设有两个有序数组：  及

求证： (顺序和≥乱序和≥逆序和)

其中 是自然数的任何一个排列

证明：令

由题设易知 

因为 故

所以 

即左端不等式，类似可证明右端不等式

然后捏，这个求∑(ai-bi)^2其实就是求∑ai^2+bi^2-∑aibi那么就是求∑aibi最小值，用排序不等式证明。就是要使得这两个数列大对大，小对小。那么这样纸的话，只要用贪心吧其中两个数列排序。编号对应之后存到一个数组里，然后就是求逆序对咯（因为每当有一个逆序对，就要换一次）然后自然树状数组敲出来搞定！

例2：国王的游戏

其实和上一题一样，两道题玩的都是数学。这题的话数学的证明比上一题更难一些。嗯，首先来考虑。明显大臣们排列的方式一定是有规律的。我们可以猜测是与他们手上的数有关的某种大小关系。那么，涉及到排序，我们就要涉及到交换的条件(冒泡的思想)，那么我们就试试看如果两个大臣要交换，那么他们必须满足什么条件，从结论往回推导。（当然这两个大臣是相邻的）

设大臣左手上的数是Ai，右手上的是Bi，之前所有人左手的乘积是S，如果把这两个人交换了，对于其他人是没有影响的。我就可以放心地在这里推导了

交换前：ans1=max(S*a[i]/b[i+1],S/b[i]);

交换后：ans2=max(S*a[i+1]/b[i],S/b[i+1])

我们目的是：如果ans2<=ans1那么ai,bi,ai+1,bi+1满足什么条件

四种情况自己都考虑一下，最后得出的结论是必须满足a[i]*b[i]<=a[i+1]*b[i+1]

所以按照这个顺序排序，然后高精乘法选出最大的，Ok啦

例3：观光公交

比较难下手的一道题，一样地，我们来看题目分析：

题目条件比较多，再此一一列举：

1.      相邻景区有一条带权路。

2.      乘客在固定时刻到达一个景区，从一个景区做观光车到另一个景区

3.      观光车以固定速度，固定向前行驶每一条路径，要载上每一位乘客

4.      有k个加速器可以是任意一条路径的权减一

5.      求最小的乘客旅行时间（下车时间-到站时间）

我们一条一条定点分析。

第1条是题目环境，忽略。第2，3条值得推敲。观光车每次都要等所有乘客上车以后载人，意味着对于每一个站点，都有一个最早发车时刻等于最晚到车站的那个乘客的时刻。我们设这个数组为bt[i]这样子的话，就比较容易出现断层，分类的情况。动态规划可能比较难进行操作。所以不太可能使用动态规划。

对于4，发现比较难下手。题目的关键在于此。但是比较不好破解，先跳过。

对于5，是要求的东西。我们发现，每个乘客的到站时间，是固定的，题目已知的。而下车时间，是未知的，下车的站点，是已知的。那么对于每一个站点来考虑。如果这个站点的到站时间最早，那么对于这个子问题肯定是最优的，从而可以达到整体的最优。所以这里采用贪心的办法。

确定贪心之后，再来看4。这个加速器的使用，如果以动归的角度来考虑，并不是不行。但是我考虑之后，发现数组根本开不了。因为1:不知道要用时刻还是站点来操作。2：时刻与站点有很大的联系。一个时刻的改变会牵扯到之后状态的改变。所以否定了。那么，如果用贪心的角度的话，那么对于每一个加速器，其最优的办法就是能够影响到最多的旅客的旅行时间。如何理解一个加速器对于旅客的影响呢？首先我们上面分析过，影响一个旅客的旅行时间的因素是到站的时间。意味着我们一定有一个f[i]储存到第i个站点的最优到站时间。同时还有一个sum[i]表示再i站下车的旅客数量。如果一个加速器在i~i+1路段使用，那么一定会影响到i+1站下车的旅客。而对于i+2个车站。如果说第i+1个车站使用加速器的到站时间小于bt[i]那么也就是说，不管有没有用加速器，在这个景点我要等到的时间是确定的，也就无所谓使用不使用了，所以对于之后的车站都没有影响。而如果反之，则仍然有影响。而继续考虑下去，条件仍然相同。所以我们就可以使用递推的方式来地推出在第i~i+1路段能影响到第几个景点。然后求出这个加速器可以影响几个乘客。然后每一次求出影响力最大的加速器，使用它，然后重新维护f数组。然后再一次循环，直到求出正解。这个贪心就是正确的了。

例4：疫情控制

这道题是目前为止我做过最难的一道贪心题，要进行好多优化，否则会很容易错误。首先看看总体的思路分析：

这道题又是一道最小最优解类型的题目。但是这个最小里面其实隐含着的是一个最小最大问题。为何？因为控制疫情的时间是按照移动时间最大的那个军队来算的。搞清楚这一点，我们就可直接确定，这题肯定是二分答案题了。

然而二分答案是挺简单的，主要是怎么进行验证？

首先，我们搞清楚一点：对于那些在规定时间之内无法到达首都的军队，或者刚刚好到达首都的军队，很明显，往父亲结点走是最优的选择，所以对于这些点，可以进行贪心。

所以由于这些点，我们可以先一步进行一次贪心，贪心过后，从每个叶子节点往上搜，一直搜索到这棵树的第2层，如果到这里还没有可以控制城市疫情的，那么这个节点，就需要哪些可以走到首都的人来进行调配了。

最难的一点（当时就卡在这里）：对于可以走到首都的军队，如果我令他每个人都走到首都，然后按照需要到达的结点路径大小和这些人的时间分别进行排序，令每一个人都是最优的，是可以得到部分解的。但是，注意，对于那些军队，他走到首都之前，本身就会经过一个第二层的结点，那么就不符合贪心无后效性的特点了。

对于这个，我上网搜了题解，其办法就是：从剩余时间最少的那个军队开始。如果说他经过的那个结点是需要封锁的，那么让他来封锁一定是最优的。为何？因为他是剩余时间最少的，同样地封锁一个结点，让他封锁一定比让别人封锁更优。然后我们就从小到大排序一下，然后看看可不可以封锁，不可以则对于另外的结点可不可以走过去封锁，然后不行就是废掉的，看看能不能封下所有的结点咯。

额。。这题其实还有一个非常非常坑的地方，就是这题的输入居然没告诉你那个是父亲那个是儿子，啊，，处理输入数据块烦死掉。。。

贪心的总结：

1.      首先，贪心的特征是：把一个大问题分解成为几个子问题，然后对于每个子问题，仅仅考虑其最优解，而不考虑整体的最优解，从而得出一个解，这就是贪心。

2.      使用贪心的时候，一定要注意证明是否可以从这个局部的最优解推出整体的最优解。若不行的话，很有可能只得到部分分数，得不到全部分数。