Chico and Dico ——根据任意4张扑克猜第5张牌

忘记在哪里看到这个好玩的地方了：

Using your head is permitted

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里面都是一些有意思的数学题。

挑其中一些翻译一下，说说自己的理解~

May 2007 riddle

“Chico和Dico是一对非常著名的魔术师。下面这个魔术常常出现在他们的节目中：

Chico首先掏出一副标准的扑克牌，一共是52张牌（大小王被他们俩吃掉了）。然后他会挑选一位观众，肯定不是托（这是个数学题）。

这位观众会从这副牌中随机选5张交给Chico，Chico会重新对它们排序。这整个过程Dico都是看不到的。

现在这位观众会按照Chico排好的顺序给Dico看前4张牌，接下来，Dico会准确地说出第五张牌是什么！”

将这个问题扩展一下，假设有n张牌，观众随机选k张牌，而Dico需要猜最后的j张牌，那么n、k、j需要满足什么样的条件才能保证这个魔术可行呢？

进一步，怎么样得到这样的策略，并且足够简单让两个魔术师学会呢？

篇外：我想起来一个同学跟我说过的魔术。他和一位搭档，叫一位观众随意告诉他搭档一件物品。当然他是不知道的。然后搭档会任意说一堆物品，每说一件他回答“是”或者“不是”，如果回答“是”那么那件物品就是观众说出来那件。他表示这个魔术甚至可以通过电话玩，当然我现在也还不知道怎么玩的。

这里要找到这样一种策略，能够按照前四张牌确定第五张牌，看起来还是比较混乱的。不过题目本身给出了一些建模的提示：

n, k, j 需要满足一些条件。

既然字母都标出来了，不妨想想它们之间的联系：一共n张牌，随机选择其中k张，然后由前(k-j)张的顺序，猜到最后的j张牌。

这样一看，还是有一些直观上能够联想到的公式：n张牌随机选k张一共是C(n,k)种选择，前k-j张的顺序一共是n*(n-1)*..*(n+j-k+1)=n!/(n+j-k)!种。

哟，那是不是需要在k-j张牌的顺序与C(n,k)种选择之间建立一种对应关系，从而能保证每次都能猜对呢？

答案正是如此。假设有n张牌，任意拿k-j张牌的排列一共是n!/(n+j-k)!种，也就是最多能有这么多种不同的编码；而随机挑选k张的组合一共是C(n,k)种。想要根据前k-j张的顺序确定整个k的组合，就必须满足C(n,k)≤n!/(n+j-k)!，也就是(n+j-k)!≤k!(n-k)!。

那么要找的映射，就是使得k-j这个排列的所有牌都在C(n,k)这k张牌中的映射。当然这样的映射应该是有很多种的。这里讲一种j=1的时候，比较简单的：

假设观众拿到的牌是a0,a1,...ak-1，并且a0

vector reorder(vector orig, int S) {//原数组是从小到大排好序的数组
int x = S; //令x为a0到ak-1的和余k!，即S
vector cards; //待排序的卡组，位置0是最后一张牌
for (int i = k; i > 0; --i) { //i从k依次递减到1
  cards.push_back(orig[x % i]); //每次将原数组中的第x%i个数放入cards
  orig.erase(orig.begin() + x % i); //从原数组删除这个数
  x /= i; //将x除以i
}
return cards;
}

其中cards[0]j就是最底下被遮住的牌。这样做的好处是，可以按照逆过程推测原牌的顺序！

比如最后拿到cards是这样的：c0, c1, ...ck-1, 首先拿出ck-1，然后看ck-2与ck-1的大小关系。我们知道这是倒数第二次循环的时候对2取余的结果，因此如果ck-2>ck-1，则对2取余是1，倒数第二次循环的时候x=1；如果ck-2

继续看ck-3，如果ck-3最小，那么在倒数第三次循环的时候对3取余结果是0；否则是1或者2，由上面对2取余的结果x2，我们可以得到倒数第三次循环的时候x=x2 * 3 + x3。

依次往上，我们可以得到S - S%k。

不过这还不是最后要求的c0。这时候我们已知的数有k-1个，假设这k-1个数的和为Sk，未知的数为c0，那么我们知道 S = (Sk + c0) % k!, S % k = c0 在a0,a1..ak中的位置，现在我们只差S和这个位置不知道了。不过时候，我们需要尝试的数只有0到k-1，通过尝试S - S%k与这个数的组合，以及得到的这个数在a0,a1..ak中的位置进行验证，我们可以确定最后的值。

上面说了一堆，还是拿一个真实的例子来讲吧~

看一位观众，随机抽到13,19,28,44,49。接下来Chico如何处理呢？

1. 计算S。五个数的总和是153，于是S=153%5!=33。

2. i=5, 取第33%5 = 3个数，也就是44 （从0开始数）放入卡组，此时cards={44}。将44从原卡组移除，orig变为{13,19,28,49}，x变为33/5=6

3. i=4, 取第6%4 = 2个数，即28放入cards，此时cards={44,28}, orig={13,19,49}, x变为6/4=1

4. i=3, 取第1%3 = 1个数，即19放入cards，此时cards={44,28,19}, orig={13,49}, x变为1/3=0

5. i=2, 取第0%2 = 0个数，即13放入cards，此时cards={44,28,19,13}, orig={49}, x变为0/2=0

6. i=1, 将49放入cards完成，cards={44,28,19,13,49}

好的，然后Dico如何通过他们之间的默契来只看后四张牌猜第一张牌呢？

我们来客串一下Dico，并且假设我们可以一瞬间忘记44这个数字，只能看到49,13,19,28这样的排列。

1. 49, 拿过来貌似暂时没什么用，放这儿吧。cards = {49}

2. 13, 这个有用了。从cards我们可以看出来它之前应该是在第0位置的。我们推测x在除以2之前余2是0，因此此时x=0。(为什么呢，x在第一步之前本身就是0，因为它余1是0啊，0*2还是0啊...)，cards={13,49}

3. 19, 观察可知19是从13和49之间拿出来的，所以可以推测x在除以3之前余3是1，因此此时x=x*3+1=1(还原与计算相反，计算的时候是先求余再除，还原需要先乘再加)，cards={13,19,49}

4. 28, 同样的道理x在除以4之前余4是2，所以此时x=x*4+2=6, cards={13,19,28,49}

5. 所有数都看完啦，还有啥呢？我们还可以算一步x，虽然我们不知道x除以5之前余5多少，但是范围肯定在[x*5, x*5+4]之间，也就是[30,34]之间，所以呢S的范围是[30,34]之间，也就是原来五个数的和的范围是[150,154]之间。

6. 目前4个数的和是109，所以隐藏数的范围就是[41,45]之间。这个范围已经很小了，而且基本不需要挨个尝试了，它肯定在28与49之间，所以S余5的值是3，轻松求得S=33，隐藏数为44。

新技能get√！又可以愉快地装X了，但是要玩熟练肯定也不容易。。

不过由于才疏学浅，最后一段话没看明白！如果有人指教，就太好了~