二分类模型性能评价（R语言，logistic回归，ROC曲线，lift曲线，lorenz曲线）
解决分类问题有多种思路，包括应用支持向量机、决策树等算法。还有一种较常规的做法是采用广义线性回归中的logistic回归或probit回归。广义线性回归是探索“响应变量的期望”与“自变量”的关系，以实现对非线性关系的某种拟合。这里面涉及到一个“连接函数”和一个“误差函数”，“响应变量的期望”经过连接函数作用后，与“自变量”存在线性关系。选取不同的“连接函数”与“误差函数”可以构造不同的广义回归模型。当误差函数取“二项分布”而连接函数取“logit函数”时，就是常见的“logistic回归模型”，在0-1响应的问题中得到了大量的应用。
logistic回归的公式可以表示为：
其中P是响应变量取1的概率，在0-1变量的情形中，这个概率就等于响应变量的期望。
这个公式也可以写成：
可以看出，logistic回归是对0-1响应变量的期望做logit变换，然后与自变量做线性回归。参数估计采用极大似然估计，显著性检验采用似然比检验。
建立模型并根据AIC准则选择模型后，可以对未知数据集进行预测，从而实现分类。模型预测的结果是得到每一个样本的响应变量取1的概率，为了得到分类结果，需要设定一个阈值p0——当p大于p0时，认为该样本的响应变量为1，否则为0。阈值大小对模型的预测效果有较大影响，需要进一步考虑。首先必须明确模型预测效果的评价指标。
对于0-1变量的二分类问题，分类的最终结果可以用表格表示为：
其中，d是“实际为1而预测为1”的样本个数，c是“实际为1而预测为0”的样本个数，其余依此类推。
显然地，主对角线所占的比重越大，则预测效果越佳，这也是一个基本的评价指标——总体准确率(a+d)/(a+b+c+d)。
通常将上述矩阵称为“分类矩阵”。一般情况下，我们比较关注响应变量取1的情形，将其称为Positive（正例），而将响应变量取0的情形称为Negative（负例）。常见的例子包括生物实验的响应、营销推广的响应以及信用评分中的违约等等。针对不同的问题与目的，我们通常采用ROC曲线与lift曲线作为评价logistic回归模型的指标。
一、ROC曲线
正因为我们比较关注正例的情形，所以设置了两个相应的指标：TPR与FPR。
TPR：True Positive Rate，将实际的1正确地预测为1的概率，d/(c+d)。
FPR：False Positive Rate，将实际的0错误地预测为1的概率，b/(a+b)。
TPR也称为Sensitivity（即生物统计学中的敏感度），在这里也可以称为“正例的覆盖率”——将实际为1的样本数找出来的概率。覆盖率是重要的指标，例如若分类的目标是找出潜在的劣质客户（响应变量取值为1），则覆盖率越大表示越多的劣质客户被找出。
类似地，1-FPR其实就是“负例的覆盖率”，也就是把负例正确地识别为负例的概率。
TPR与FPR相互影响，而我们希望能够使TPR尽量地大，而FPR尽量地小。影响TPR与FPR的重要因素就是上文提到的“阈值”。当阈值为0时，所有的样本都被预测为正例，因此TPR=1，而FPR=1。此时的FPR过大，无法实现分类的效果。随着阈值逐渐增大，被预测为正例的样本数逐渐减少，TPR和FPR各自减小，当阈值增大至1时，没有样本被预测为正例，此时TPR=0，FPR=0。
由上述变化过程可以看出，TPR与FPR存在同方向变化的关系（这种关系一般是非线性的），即，为了提升TPR（通过降低阈值），意味着FPR也将得到提升，两者之间存在类似相互制约的关系。我们希望能够在牺牲较少FPR的基础上尽可能地提高TPR，由此画出了ROC曲线。
ROC曲线的全称为“接受者操作特性曲线”（receiver operating characteristic），其基本形式为：
当预测效果较好时，ROC曲线凸向左上角的顶点。平移图中对角线，与ROC曲线相切，可以得到TPR较大而FPR较小的点。模型效果越好，则ROC曲线越远离对角线，极端的情形是ROC曲线经过（0，1）点，即将正例全部预测为正例而将负例全部预测为负例。ROC曲线下的面积可以定量地评价模型的效果，记作AUC，AUC越大则模型效果越好。
由于ROC曲线描述了在TPR与FPR之间的取舍，因此我一般将其理解为投入产出曲线，receive of cost。（事实上我理解错了。相对而言lorenz曲线更适合这个名字。当然啦其实FPR可以理解为另一种cost。2010.10.15）
当我们分类的目标是将正例识别出来时（例如识别有违约倾向的信用卡客户），我们关注TPR，此时ROC曲线是评价模型效果的准绳。
二、lift曲线
在营销推广活动（例如DM信）中，我们的首要目标并不是尽可能多地找出那些潜在客户，而是提高客户的响应率。客户响应率是影响投入产出比的重要因素。此时，我们关注的不再是TPR（覆盖率），而是另一个指标：命中率。
回顾前面介绍的分类矩阵，正例的命中率是指预测为正例的样本中的真实正例的比例，即d/(b+d)，一般记作PV。
在不使用模型的情况下，我们用先验概率估计正例的比例，即(c+d)/(a+b+c+d)，可以记为k。
定义提升值lift=PV/k。
lift揭示了logistic模型的效果。例如，若经验告诉我们10000个消费者中有1000个是我们的潜在客户，则我们向这10000个消费者发放传单的效率是10%（即客户的响应率是10%），k=(c+d)/(a+b+c+d)=10%。通过对这10000个消费者进行研究，建立logistic回归模型进行分类，我们得到有可能比较积极的1000个消费者，b+d=1000。如果此时这1000个消费者中有300个是我们的潜在客户，d=300，则命中率PV为30%。
此时，我们的提升值lift=30%/10%=3，客户的响应率提升至原先的三倍，提高了投入产出比。
为了画lift图，需要定义一个新的概念depth深度，这是预测为正例的比例，(b+d)/(a+b+c+d)。
与ROC曲线中的TPR和FPR相同，lift和depth也都受到阈值的影响。
当阈值为0时，所有的样本都被预测为正例，因此depth=1，而PV=d/(b+d)=(0+d)/(0+b+0+d)=k，于是lift=1，模型未起提升作用。随着阈值逐渐增大，被预测为正例的样本数逐渐减少，depth减小，而较少的预测正例样本中的真实正例比例逐渐增大。当阈值增大至1时，没有样本被预测为正例，此时depth=0，而lift=0/0。
由此可见，lift与depth存在相反方向变化的关系。在此基础上作出lift图：
与ROC曲线不同，lift曲线凸向（0，1）点。我们希望在尽量大的depth下得到尽量大的lift（当然要大于1），也就是说这条曲线的右半部分应该尽量陡峭。
至此，我们对ROC曲线和lift曲线进行了描述。这两个指标都能够评价logistic回归模型的效果，只是分别适用于不同的问题：
如果是类似信用评分的问题，希望能够尽可能完全地识别出那些有违约风险的客户（不使一人漏网），我们需要考虑尽量增大TPR（覆盖率），同时减小FPR（减少误杀），因此选择ROC曲线及相应的AUC作为指标；
如果是做类似数据库精确营销的项目，希望能够通过对全体消费者的分类而得到具有较高响应率的客户群，从而提高投入产出比，我们需要考虑尽量提高lift（提升度），同时depth不能太小（如果只给一个消费者发放传单，虽然响应率较大，却无法得到足够多的响应），因此选择lift曲线作为指标。
按照惯例，我们来做一个试验。试验的问题来自我的毕业论文，研究高炉铁水硅质量分数的波动情况。
简单地说，我们的响应变量是高炉铁水硅质量分数的波动方向，记作SI0，当其取1时，表示本炉铁水硅质量分数比上一炉小，当其取0时，表示本炉铁水硅质量分数比上一炉大。（之所以这样设定，是因为通常情况下更需要关注炉温向凉的情形。）自变量选取为前一炉硅质量分数、前一炉料速、前一炉风量、前两炉料速。
选取了350炉数据，分为两组，分别用于建模与预测
a=data[1:250,]
b=data[251:350,]
a[1:3,]
SI0 SI1 LS1 FL1 LS2
1 1 0.5825 0.8998203 0.9494003 0.7821347
2 0 0.5000 0.7933116 0.9334815 0.8998203
3 0 0.5700 0.7205215 0.8978194 0.7933116
建立logistic回归模型
glm.logit=glm(SI0~.,data=a,family=binomial(link=logit))
summary(glm.logit)
计算预测值
p=predict(glm.logit,b)
p=exp(p)/(1+exp(p))
将阈值定为0.5，得到分类结果
b$SI0pred=1*(p>0.5)
计算频数
table(b[,c(1,6)])
SI0pred
SI0 0 1
0 28 18
1 12 42
于是
TPR=77.8%
FPR=39.1%
PV=70%
k=54%
lift=1.3
绘制ROC曲线
TPR=rep(0,1000)
FPR=rep(0,1000)
for(i in 1:1000){
p0=i/1000;
SI0.true=b$SI0
SI0.pred=1*(p>p0)
TPR[i]=sum(SI0.pred*SI0.true)/sum(SI0.true)
FPR[i]=sum(SI0.pred*(1-SI0.true))/sum(1-SI0.true)}
plot(FPR,TPR,type="l",col=2)
points(c(0,1),c(0,1),type="l",lty=2)