不相关的正态分布随机变量也不一定就独立

素材主要来自英文维基百科词条Normally distributed and uncorrelated does not imply independent
我们直接举个例子吧。假设$X$服从正态分布，$W$是一个Rademacher distribution的随机变量，其取值在集合$\{1,-1\}$中，且概率均为1/2。令$Y=WX$。关于$Y$的分布，我们有
$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(Y\le y)\\ & =P(X\le y|W=1)P(W=1)+P(X\ge -y|W=-1)P(W=-1)\\ & =\frac{1}{2}[F_X(y)+1-F_X(-y)]\end{array}$$
由于正态分布的对称性，我们有$F_X(y)=1-F_X(-y)$。于是，我们有
$$\begin{array}{r}{F}_Y(y)=F_X(y)\end{array}$$
重要结论即为$Y$为正态分布。再考察$X$与$Y$的线性相关性，其协方差为
$$\begin{array}{rl}COV(X,Y)& =\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y\\ & =\mathbb{E}[XWX]-0\\ & =\mathbb{E}[X^{2}W]=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[W]=0\end{array}$$
由此可见，$X$与$Y$线性不相关。
但是显然，我们有$|X|=|Y|$，即$X$与$Y$不独立。因此，$X$与$Y$就是一个很好的例子，证明不相关的正态分布随机变量也不一定就独立。