离散对数和椭圆曲线加密原理

为什么是椭圆曲线加密？

椭圆曲线加密（以下简称ECC）实际上已经应用到了各个网站的HTTPS连接中。你平常访问的网站，大部分都是基于椭圆曲线加密，比如你现在正在浏览的CSDN。如果你用的是chrome浏览器，按下F12，点开Security，可以看到下图这样的内容：

这里的ECDHE就是椭圆曲线密钥交换的简称。能进行密钥交换的算法并非只有ECC，然而现在的大型网站（除了某些老旧的银行网站）都不约而同地选择了ECC，为啥？

还有大火的比特币，其身份认证机制便是以ECC为基础。先不论比特币的争议，其设计本身是十分精妙的。为何比特币选择ECC而不是RSA或者其它算法进行身份认证？

如果你是一个程序员或者运维人员，那么肯定没少用SSH连接服务器。为了在登陆时不输入密码，通常会使用公钥进行登录。这时会要求先在本机使用ssh-keygen生成密钥对，然后把密钥对里的公钥上传到服务器中。但是你用多了有没有发现ssh-keygen默认生成的密钥有点长？比如这个公钥：

ssh-rsa AAAAB3NzaC1yc2EAAAADAQABAAABAQCypa+az50x7bi0vweyY2dVQIztS9Q/v4DL3OQMPCPDR85bFsvsXWB5r/fbETDlo25ZDyWBInOVxqR96H0vKeWE28tbbQSqne41WAobPe1Z4gxq5o2WJXsC44qjW9ne34dJFVYNX9DrcnvddyZdTxw4Apa6A/hixMtaPDueQF6lct8EsVhkRqFSbdYfumABxUlGW4kKbwA86zT+jDCbnOHyk7EOvtUuLqlTntZmko7gm46QSuYNuhlFeGQirzmVmU8C55wABvVjeVw/wXZe96Q5faPEqAvY+X3o0ku1eliQuI/7BGq9j9s8q2WqSTBweOhJ5mHhf+kyra0jm70WYRlb

然而，你只需要把ssh-keygen的密钥类型从默认的RSA切换到ECC，也就是运行ssh-keygen -t ed25519，就可以得到一个短得多的公钥：

ssh-ed25519 AAAAC3NzaC1lZDI1NTE5AAAAIHzJZ8pHw7wVIFWp9zmLIeYyhk81QAp42FuCQkdbG1bb

一般来说，密钥越长安全性越高，但是这个短密钥的安全性比上面长的还要高。破解它的难度相当于破解长度为3000位（二进制位）的RSA密钥。而ssh-keygen默认生成的是长度为2048位的RSA密钥。为什么ECC的密钥这么短却可以保证安全性？

序言

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不管是RSA、离散对数加密还是椭圆曲线加密，公钥加密算法都是依赖于某个正向计算很简单（比如多项式时间复杂度），而逆向计算很难（比如指数时间复杂度）的数学难题。对于RSA，这个问题是大整数因子分解问题；对于离散对数加密，是离散对数问题；对于椭圆曲线加密，则为椭圆曲线上的离散对数问题。

本文主要介绍椭圆曲线加密，但是离散对数加密和椭圆曲线加密原理比较相似，在这里一并介绍。

离散对数问题

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我们在中学里学的对数问题是指，

给定正实数$a$和$a^x$，求$x$。也就是计算$x={\log }_a{a}^x$。

这是实数域上的对数问题，不是什么难算的东西，随便按一下计算器结果就出来了。

而离散对数问题是指这样的问题：

给定素数$p$和正整数$g$，知道$g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的值，求$x$

对于符合特定条件的$p$和$g$，这个问题是很难解的，更准确地说，是没有多项式时间的解法。而$g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的计算却非常快，由此造成了正向和逆向天差地别的计算速度。就像随手一扔，玻璃杯就摔碎成渣，而想要将一堆玻璃渣拼回完整的玻璃杯，即使做得到，所需的人力物力也远远大于当初那随手一扔。

Diffie–Hellman密钥交换

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Diffie–Hellman密钥交换（以下简称DH）是用于双方在可能被窃听环境下安全交换密钥的一种方法。
算法的安全性是由上面提到的离散对数难题保证。

具体算法流程如下：

• 小红和小明约定$p$和$g$的值
• 小红生成私钥$x$，计算$g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$作为公钥公布出去
• 小明生成私钥$y$，计算$g^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$作为公钥公布出去
• 小红得知$g^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$后，计算
  $s=(g^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p{)}^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=(g^y{)}^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=g^{xy}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
• 小明得到$g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$后，计算
  $s=(g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p{)}^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=(g^x{)}^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=g^{xy}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
• 双方都得到了相同的密钥的$s$，交换完毕

上面的流程中，$x$和$y$始终由两人自行保管的，第三方窃听得到的只有$p$、$g$、$g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$和$g^y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$这几个值。
上面说过，离散对数是很难算的，所以第三方不能由这些信息计算出$x$或$y$，也就没办法计算出密钥$s$了。

椭圆曲线

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中学的时候我们学过圆锥曲线，比如椭圆、双曲线和抛物线。因为描述这些曲线的方程都是二次方程，圆锥曲线又被称为二次曲线。而椭圆曲线是则是由三次方程描述的一些曲线。更准确地说，椭圆曲线是由下面的方程描述的曲线：
$$\begin{gathered} y^2=x^3+ax+b \\ 4a^3+27b^2\ne 0 \end{gathered}$$

需要注意的是，椭圆曲线之所以叫“椭圆曲线”，是因为其曲线方程跟利用微积分计算椭圆周长的公式相似。实际上它的图像跟椭圆完全不搭边。

下图是椭圆曲线$y^2=x^3-x+1$的图像

椭圆曲线有这样的两个性质：

1. 关于X轴对称
2. 画一条直线跟椭圆曲线相交，它们最多有三个交点

椭圆曲线上的运算

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椭圆曲线加密之所以难破解，是因为其加密、解密运算是在椭圆曲线上进行的，所以接下来需要定义一些椭圆曲线上的运算。可以回想一下小学的时候第一次学整数加减法的情景，两者其实是类似的。

首先定义椭圆曲线上点的加法。设椭圆曲线上有两点，A和B点，那么作过这两点的直线与该曲线相交于第三点（C点），然后关于X轴对称得到D点，则D为这两个点的和，记作$D=A+B$。很明显，D点也在该曲线上。所以椭圆曲线上两点之和也是曲线上的点。、

这个性质我们称之为封闭性，也就是只要A和B是曲线上的点，他们的和也必然是曲线上的点。类比于整数加法，只要相加的两个数是整数，那么他们的和也必然是整数。

特别地，如果两点重合，则作椭圆曲线在A点处的切线，与曲线相交于第二点（B点），然后关于X轴对称得到C点，则C点为A点与自身的和，记作$C=A+A$

看到这里很多人可能会觉得疑惑，为什么要定义一个这么奇怪的加法？
实际上这个加法来源于椭圆曲线上利用已知有理点（横、纵坐标都是有理数的点）寻找其它有理点的方法，叫切线法（tangent and chord method）。这种加法可以保证以下两个结论是成立的：

2. $A+B=B+A$
   交换律。这是显而易见的，直线没有方向，过A点作直线经过B点，和过B点作直线经过A点，得到的是同一条直线。
3. $(A+B)+C=A+(B+C)$
   结合律。读者可以到GeoGebra自己试着画一下。这个结论的证明并不直观，详细的过程可以参考这里。

这个时候聪明如你可能会发现，如果相加的两个点，A点和B点形成的直线恰好垂直于X轴，那么这条直线与椭圆曲线不管怎么算最多只有两个交点，上面的加法岂不是没法做了？为了补足这个缺陷，这里我们定义坐标系中距离X轴无穷远点为椭圆曲线上的一个特殊点，称为0点（零点）。 因为任意一条垂直于X轴的直线都会与椭圆曲线相交于0点。这里可能有点难以理解，实际上可以类比平面上平行线的定义。我们知道，两条直线必定有交点这一结论是错的，因为平行线是个例外。但是如果我们定义，两条平行的直线相交于无穷远点，那么这个结论就是成立的。

对于这个0点，有以下结论：

1. 对于椭圆曲线上任意一点A，都存在曲线上另一点B，使得$A+B=0$
   因为椭圆曲线关于X轴对称，所以对于曲线上任意一点A，总存在另一点B使得过A、B的直线垂直于X轴，也就是该直线与曲线交于0点，所以A+B=0
2. $A+0=0+A=A$
   因为0点是距离X轴无穷远的点，所以过A点与0点的直线是垂直于X轴的，它与曲线相交于另一点B点，那么B点关于X轴对称的点就是A点，即A点为A点和0点之和。
   
   实际上这里“顺便”定义了椭圆曲线中的负数，若$A+B=0$，那么$B=-A$。椭圆曲线上点的减法也就自然而然地出现了，$A-B=A+(-B)$。

然后在加法的基础上，定义椭圆曲线上点的乘法。

设$P$是椭圆曲线上的一个点，那么正整数$k$乘以点$P$的结果由下面的式子定义，注意式子中的加法是上面提到的椭圆曲线上点的加法：
$1\ast P=P$
$2\ast P=P+P$
$3\ast P=2\ast P+P$
…
$k\ast P=(k-1)\ast P+P$

这个乘法满足以下性质：

对于任意正整数$k$和$j$，有
$k\ast (j\ast P)=(kj)\ast P=(jk)\ast P=j\ast (k\ast P)$

这个性质在椭圆曲线密钥交换中会利用到。

椭圆曲线上的离散对数问题

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从程序实现的角度来考虑，假设有这么一个函数：

 Point add(Point A, Point B) {...}

函数参数是两个椭圆曲线上的点，返回值是过两个点的直线与椭圆曲线相交的第三个点关于X轴对称的点。
那么按照如下方式调用函数：

Point result = P;
for (int i = 0; i < k - 1; i++)
	result = add(P, result);
sendTo((result, P), others);

但是很显然，通过累加$k-1$次的方式计算$k\ast P$是一种很笨的办法，其时间复杂度是线性的。上面我们提到过，椭圆曲线上点的加法是满足结合律的，即$(A+B)+C=A+(B+C)$，扩展一下，就有

$$P+P+P+P=(P+P)+(P+P)=2P+2P$$

于是就有这么一种骚操作，比如计算$16P$，我们可以先计算$2P=P+P$；然后计算$4P=P+P+P+P=2P+2P$；再计算$8P=P+P...+P=4P+4P$；最后计算$16P=8P+8P$。这里我们把15次加法减少到了4次。

当然，k的值不可能总是2的幂。实际上上面的操作可以推广到k为任意正整数的情况。比如计算23P，首先计算2P=P+P，然后

$$4P=2P+2P$$

$$8P=4P+4P$$

$$16P=8P+8P$$

因为$23=16+4+2+1$，所以$23P=16P+4P+2P+P$。总共只需要7次加法。

分析一下，对于任意正整数$k$，我们都可以利用这个方法将计算$k\ast P$所需的加法计算次数降低到$2\cdot \lfloor {\log }_{2}k\rfloor -1$

也就是说，从时间复杂度的角度来看，这个算法是一个$O(\log k)$的算法。

这个方法被称为快速幂算法，原本常用于快速计算某个数的k次幂，这里将其推广到椭圆曲线点乘的快速计算中。

为什么要在介绍了椭圆曲线上点的乘法后突然冒出一个快速幂算法？快速幂算法对于椭圆曲线加密有什么意义？因为数学家/密码学家发现，利用快速幂算法计算$k\ast P$的时间复杂度是对数级的，但是要在知道$k\ast P$和$P$的前提下，倒推出$k$的值，没有比挨个尝试$k$的值快太多的算法。于是椭圆曲线加密依赖的数学难题就这么诞生了。

$k$为正整数，$P$是椭圆曲线上的点（称为基点），已知$k\ast P$和$P$，计算$k$

如果我们改一种记法，把椭圆曲线上点的加法记作乘法，原来的乘法就变成了幂运算，那么上述难题的形式跟离散对数问题应该是一致的。即：

$k$为正整数，$P$是椭圆曲线上的点，已知$P^k$和$P$，计算$k={\log }_P{P}^k$。

所以这个难题叫椭圆曲线上的离散对数问题。

尽管两者形式一致，但是他们并不等价。实际上这个问题比大整数质因子分解（RSA）和离散对数（DH）难题都要难得多，目前还没有出现亚指数级时间复杂度的算法（大整数质因子分解和离散对数问题都有），以致于同样的安全强度下，椭圆曲线加密的密钥比RSA和DH的短不少，这是椭圆曲线加密的一大优势。

有限域上的椭圆曲线

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但是密码学中，并不能使用上面介绍的实数域上的椭圆曲线。因为

1. 实数域上的椭圆曲线是连续的，有无限个点，密码学要求有限点。
2. 实数域上的椭圆曲线的运算有误差，不精确。密码学要求精确。

所以我们需要引入有限域上的椭圆曲线。

所谓有限域上的椭圆曲线，简单来说就是满足下面式子要求的曲线（x, y, a, b都是小于素数p的非负整数）：
$$\begin{gathered} y^2=x^3+ax+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p \\ 其中4a^3+27b^2\ne 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p \end{gathered}$$

对比一下原先的椭圆曲线的方程：
$$\begin{gathered} y^2=x^3+ax+b \\ 其中4a^3+27b^2\ne 0 \end{gathered}$$
可以看到这个只是对原式进行了简单的取模处理而已。实际上RSA和DH中也是基于这种形式的取模运算。

下图是椭圆曲线$y^2=x^3-x+1$对素数97取模后的图像（图片来自参考文献）

原本连续光滑的曲线变成了离散的点，基本已经面目全非了，但是依然可以看到它是关于某条水平直线（y=97/2）对称的。

而且上面定义的椭圆曲线的加法仍然可用（当然乘法也可以）（图片来自参考文献）。

注意：密码学中有限域上的椭圆曲线一般有两种，一种是定义在以素数p为模的整数域$GF(p)$，也就是上面介绍的；另一种则是定义在特征为2的伽罗瓦域$GF(2^m)$上，篇幅所限，这里就不介绍了。

基于椭圆曲线的DH密钥交换（ECDH）

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ECDH跟DH的流程基本是一致的。

• 小红和小明约定使用某条椭圆曲线（包括曲线参数，有限域参数以及基点P等）
• 小红生成私钥$x$，计算$x\ast P$作为公钥公布出去
• 小明生成私钥$y$，计算$y\ast P$作为公钥公布出去
• 小红得知$y\ast P$后，计算
  $s=x\ast (y\ast P)=xy\ast P$
• 小明得到$x\ast P$后，计算
  $s=y\ast (x\ast P)=yx\ast P$
• 双方都得到了相同的密钥的$s$，交换完毕

由于计算椭圆曲线上的离散对数是很难的，所以第三方没办法在只知道$x\ast P$和$y\ast P$的情况下计算出$x$或$y$的值。

实际应用中，我们并不需要关心椭圆曲线的众多参数如何选取（要选对参数对于普通使用者来说并不现实），只要从密码学家们精心挑选的一堆曲线中选择一个就行了。一般来说曲线Curve25519，prime256v1是比较常用的，比特币选择secp256k1是因为它效率较高，并且其参数是可预测的，降低了包含后门的可能性。

参考文献

浅说椭圆曲线
A (relatively easy to understand) primer on elliptic curve cryptography
Wikipedia: Elliptic curve
Wikipedia: Elliptic curve cryptography
Bitcoin加密技术之椭圆曲线密码学
椭圆曲线密码体制