等额本息贷款每月还款金额推导过程

假设贷款总额是A，而每月利息是b，总共360期，目标是计算每个月应该给银多少钱，推导过程如下。

设每个月还银行的本金为
$$m_n(1\le n\le 360)$$
每个月还给银行的本金加上利息设为c，则每月的c是固定的。

现在分析一下第i个月的还款情况，前面i-1个月已经还了本金${\sum }_{n=1}^{i-1}{m}_n$，故此时只欠银行的本金为：$A-{\sum }_{n=1}^{i-1}{m}_n$，所本月应还的利息是：$(A-{\sum }_{n=1}^{i-1}{m}_n)b$，c应该是利息加上应还有本金，故有：

$$c=(A-\sum _{n=1}^{i-1}{m}_n)b+m_i,1\le i\le 360(式1)$$

当还完第360个月之后，应该不再欠银行钱了，于是有：
$$A-\sum _{n=1}^{360}{m}_n=0(式2)$$

当式1取i = 360时，联合式2即有：
$$c=(A-\sum _{n=1}^{359}{m}_n)b+m_{360}$$
$$A-\sum _{n=1}^{359}{m}_n-m_{360}=0$$
于是有：
$$c=m_{360}b+m_{360}$$
即：
$$m_{360}=\frac{c}{1+b}$$

再次，对式1分别写出第i-1月和第i月的公式，即：
$$c=(A-\sum _{n=1}^{i-2}{m}_n)b+m_{i-1}$$
$$c=(A-\sum _{n=1}^{i-2}{m}_n-m_{i-1})b+m_i=(A-\sum _{n=1}^{i-2}{m}_n)b-m_{i-1}b+m_i$$
将$m_i$看成已知，则可通过这两式子联合求得$m_{i-1}$为：
$$m_{i-1}=\frac{m_i}{1+b}$$

这就是$m_i$的递推公式，而$m_{360}=\frac{c}{1+b}$，于是得到：
$$m_1=\frac{c}{(1+b{)}^{360}}$$

最后将式1写出第1个月的公式为：
$$c=Ab+m_1$$

即：
$$c=Ab+\frac{c}{(1+b{)}^{360}}$$
移项得：
$$c(1-\frac{1}{(1+b{)}^{360}})=Ab$$
即：
$$c(\frac{(1+b{)}^{360}-1}{(1+b{)}^{360}})=Ab$$
故得：
$$c=\frac{Ab(1+b{)}^{360}}{(1+b{)}^{360}-1}$$

还没有写完……