决策树原理详解

决策树是机器学习中一种基本的分类和回归算法，是依托于策略抉择而建立起来的树。其主要优点是模型具有可读性，分类速度快，易于理解。决策树的思想主要来源于Quinlan在1986年提出的ID3算法和1993年提出的C4.5算法，以及有Breiman等人在1984年提出的CART算法。

1.什么是决策树

决策树简单来说就是带有判决规则（if-then）的一种树，可以依据树中的判决规则来预测未知样本的类别和值。用一个网上通俗易懂的例子（相亲）来说明：

• 女儿：年纪多大了？
• 母亲：26
• 女儿：长相如何？
• 母亲：挺帅的
• 女儿：收入如何？
• 母亲：不算很高，中等情况
• 女儿：是公务员不？
• 母亲：是，在税务局上班

• 女儿：那好，我去见见

  这个女孩的在决定是否去相亲的过程就是一个典型的分类决策过程。相当于通过年纪、长相、收入和是否公务员等标准来决定是否去相亲， 其决策过程可以用下面的决策树来表示：
  
  简单来说，就是女孩会依据一定的规则来选择是否相亲。而且如果她事先将这个规则告诉自己的母亲，母亲就可以直接依据这个分类规则知道女儿是否想去参加这个相亲，即分类结果的是与否。

2.决策树模型和学习

定义： 决策树是一个属性结构的预测模型，代表对象属性和对象值之间的一种映射关系。它由节点（node）和有向边（directed edge）组成，其节点有两种类型：内节点（internal node）和叶节点（leaf node），内部节点表示一个特征或属性，叶节点表示一个类。
如上图所示的相亲例子，蓝色的椭圆内节点表示的是对象的属性，橘黄色的矩形叶节点表示分类结果（是否相亲），有向边上的值则表示对象每个属性或特征中可能取的值。

决策树的学习本质上是从训练集中归纳出一组分类规则，得到与数据集矛盾较小的决策树，同时具有很好的泛化能力。决策树学习的损失函数通常是正则化的极大似然函数，通常采用启发式方法，近似求解这一最优化问题。
决策树学习算法包含特征选择、决策树生成与决策树的剪枝。决策树表示的是一个条件概率分布，所以深浅不同的决策树对应着不同复杂程度的概率模型。决策树的生成对应着模型的局部选择（局部最优），决策树的剪枝对应着全局选择（全局最优）。决策树常用的算法有ID3，C4.5，CART，下面通过一个简单的例子来分别介绍这几种算法。

上图是一个比较典型的决策树分类用的贷款申请样本数据集：样本特征x(i)x(i) 的类型有年龄、是否有工作、是否有房子和信贷情况，样本类别y(i)y(i) 取值是两类是、否，最终的分类结果就是根据样本的特征来预测是否给予申请人贷款。在介绍算法之前，我们先介绍几个相关的概念：

3.算法介绍

ID3算法

在前面我已经介绍了信息增益计算的方法，在ID3算法中，我们通过信息增益来选取相应的特征，首先计算每个特征对样本类别的信息增益：


从图中可以看到，有房子的是肯定能够借到贷款的，没房子的，要依据别的条件继续判断。在没有房子的样本中，我们继续计算每个特征在此表上的增益，这样一直到所有样本完全分开就能得到一个适应样本集的决策树。本示例的最终决策树为：

算法具体实现将在下一章进行详细的说明。ID3算法只有树的生成，没有树的剪枝，所以容易产生过拟合现象。

C4.5算法

C4.5算法与ID3算法在整体流程上很相似，不同之处在于特征选择用的是信息增益，然后最后有剪枝的过程。依据信息增益率，我们来计算上述例子：

通过上述计算可以看出，增益比最大的还是第三个特征：房子，因此还是选择第三个特征作为最优特征进行初始决策。

CART算法

CART算法主要有两部分组成：
(1) 决策树的生成：基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量打。这与ID3算法类似，不同之处也是特征选取的方式；
(2) 决策树的剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，此时用损失函数最小作为剪枝的标准。
CART算法可以用于回归，即建立回归树。在终于分类时，其算法流程与ID3较为类似，不同的是特征选取，选择的是最小基尼指数。

4.决策树剪枝

决策树生成算法是递归地生成决策树，知道不能终止。这样产生的决策树往往分类精细，对训练数据集分类准确，但是对未知数据集却没有那么准确，有比较严重的过拟合问题。因此，为了简化模型的复杂度，使模型的泛化能力更强，需要对已生成的决策树进行剪枝。

决策树的剪枝，就是在α确定时，选择损失函数最小的决策树。当α确定时，子树越大，模型复杂度越高，往往与训练数据拟合越好，但是在未知数据集上表现可能会较差；相反，子树越小，模型复杂度越低，训练数据拟合不好，但是泛化能力好。

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