Java数据结构与算法解析(十四)——二叉堆

二叉堆概述

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

二叉堆一般都通过”数组”来实现，下面是数组实现的最大堆和最小堆的示意图：

二叉堆的实现

本实现以”最大堆”为例子来进行介绍。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：

当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
protected void filterup(int start) {
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

    while(c > 0) {
        int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
        if(cmp >= 0)
            break;
        else {
            mHeap.set(c, mHeap.get(p));
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    mHeap.set(c, tmp);
}

/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 */
public void insert(T data) {
    int size = mHeap.size();

    mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
    filterup(size);        // 向上调整堆
}

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到”替换后的树仍然要是最大堆”！

二叉堆的删除代码

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
protected void filterdown(int start, int end) {
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end) {
        int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && cmp<0)
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
        cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
        if(cmp >= 0)
            break;        //调整结束
        else {
            mHeap.set(c, mHeap.get(l));
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    mHeap.set(c, tmp);
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值：
 *      0，成功
 *     -1，失败
 */
public int remove(T data) {
    // 如果"堆"已空，则返回-1
    if(mHeap.isEmpty() == true)
        return -1;

    // 获取data在数组中的索引
    int index = mHeap.indexOf(data);
    if (index==-1)
        return -1;

    int size = mHeap.size();
    mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
    mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

    if (mHeap.size() > 1)
        filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

    return 0;
}

完整代码

二叉堆(最大堆)的实现

public class MaxHeap> {

    private List mHeap;    // 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例)

    public MaxHeap() {
        this.mHeap = new ArrayList();
    }

    /* 
     * 最大堆的向下调整算法
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
     *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    protected void filterdown(int start, int end) {
        int c = start;          // 当前(current)节点的位置
        int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
        T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

        while(l <= end) {
            int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
            // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
            if(l < end && cmp<0)
                l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
            cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
            if(cmp >= 0)
                break;        //调整结束
            else {
                mHeap.set(c, mHeap.get(l));
                c = l;
                l = 2*l + 1;   
            }       
        }   
        mHeap.set(c, tmp);
    }

    /*
     * 删除最大堆中的data
     *
     * 返回值：
     *      0，成功
     *     -1，失败
     */
    public int remove(T data) {
        // 如果"堆"已空，则返回-1
        if(mHeap.isEmpty() == true)
            return -1;

        // 获取data在数组中的索引
        int index = mHeap.indexOf(data);
        if (index==-1)
            return -1;

        int size = mHeap.size();
        mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
        mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

        if (mHeap.size() > 1)
            filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

        return 0;
    }

    /*
     * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    protected void filterup(int start) {
        int c = start;            // 当前节点(current)的位置
        int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
        T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

        while(c > 0) {
            int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
            if(cmp >= 0)
                break;
            else {
                mHeap.set(c, mHeap.get(p));
                c = p;
                p = (p-1)/2;   
            }       
        }
        mHeap.set(c, tmp);
    }

    /* 
     * 将data插入到二叉堆中
     */
    public void insert(T data) {
        int size = mHeap.size();

        mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
        filterup(size);        // 向上调整堆
    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i=0; iget(i) +" ");

        return sb.toString();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int i;
        int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
        MaxHeap tree=new MaxHeap();

        System.out.printf("== 依次添加: ");
        for(i=0; iout.printf("%d ", a[i]);
            tree.insert(a[i]);
        }

        System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

        i=85;
        tree.insert(i);
        System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
        System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

        i=90;
        tree.remove(i);
        System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
        System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
        System.out.printf("\n");
    }
}

二叉堆(最小堆)的实现文件

public class MinHeap> {

    private List mHeap;        // 存放堆的数组

    public MinHeap() {
        this.mHeap = new ArrayList();
    }

    /* 
     * 最小堆的向下调整算法
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
     *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    protected void filterdown(int start, int end) {
        int c = start;          // 当前(current)节点的位置
        int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
        T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

        while(l <= end) {
            int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
            // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
            if(l < end && cmp>0)
                l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]

            cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
            if(cmp <= 0)
                break;        //调整结束
            else {
                mHeap.set(c, mHeap.get(l));
                c = l;
                l = 2*l + 1;   
            }       
        }   
        mHeap.set(c, tmp);
    }

    /*
     * 最小堆的删除
     *
     * 返回值：
     *     成功，返回被删除的值
     *     失败，返回null
     */
    public int remove(T data) {
        // 如果"堆"已空，则返回-1
        if(mHeap.isEmpty() == true)
            return -1;

        // 获取data在数组中的索引
        int index = mHeap.indexOf(data);
        if (index==-1)
            return -1;

        int size = mHeap.size();
        mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
        mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

        if (mHeap.size() > 1)
            filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

        return 0;
    }

    /*
     * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    protected void filterup(int start) {
        int c = start;            // 当前节点(current)的位置
        int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
        T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

        while(c > 0) {
            int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
            if(cmp <= 0)
                break;
            else {
                mHeap.set(c, mHeap.get(p));
                c = p;
                p = (p-1)/2;   
            }       
        }
        mHeap.set(c, tmp);
    }

    /* 
     * 将data插入到二叉堆中
     */
    public void insert(T data) {
        int size = mHeap.size();

        mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
        filterup(size);        // 向上调整堆
    }

    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i=0; iget(i) +" ");

        return sb.toString();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int i;
        int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
        MinHeap tree=new MinHeap();

        System.out.printf("== 依次添加: ");
        for(i=0; iout.printf("%d ", a[i]);
            tree.insert(a[i]);
        }

        System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

        i=15;
        tree.insert(i);
        System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
        System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

        i=10;
        tree.remove(i);
        System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
        System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
        System.out.printf("\n");
    }
}