学习笔记： 进阶版树状数组（区间修改区间查询以及查询第K大元素）

导

树状数组相信大家都很熟悉了，而今天我将会为大家带了一些更加全面的操作，并且欢迎补充哦。

其实我想说的是，除了RMQ，线段树能做的，树状数组都能做。

换句话说，这是一个稍微进阶版的的树状数组，读者至少要会单调修改区间查询这个最基本的操作。

树状数组应该算是常数非常小的数据结构啦。而小生特别喜欢这个数据结构，这是因为它特别短，就是又短又快！

核心操作：lowbit

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

这是树状数组的核心操作，看到了这个操作基本上就是树状数组了。

现在我们来看看这个操作的实际意义：

抛结论：令p=lowbit(x),则p在x在二进制下从右往左第一个1的位置上也为1，其它为0。

举个例子:lowbit( ( 110 )2 ) = (10)2

操作

单点修改区间查询

我觉得这个。。。很简单吧

区间修改单点查询

这里就是利用差分的思想。

令a为原数组

令一个新的数组b:b[1]=a[1],b[i]=b[i]-b[i-1]。(差分数组)

那么a[i]=b[1]+b[2]+….+b[i]

这样我们用树状数组维护差分数组b即可，也就不维护原数组了，每次修改区间的时候只会有两个b被修改，因此可以在log级别完成查找与维护。

此外，由于任何一段b的区间和都可以写成两个a的差，因此一般情况下b的储存类型和a是相同的。

区间修改区间查询

基于区间修改单点查询

我们看看前缀和怎么求，区间的话直接用前缀和减就可以了。

任然令a为原数组，b为差分数组

现在求a的前M项前缀和

a[1]+a[2]+a[3]+....+a[m]

=(b[1])+(b[1]+b[2])+(b[1]+b[2]+b[3])+...+(b[1]+b[2]+b[3]+...+b[m])

=m*b[1]+(m-1)*b[2]+...+1*b[m]

=m*(b[1]+b[2]+b[3]+...+b[m])-（0*b[1]+1*b[2]+2*b[3]+...+(m-1)*b[m]）

显然的，我们再求一个数组c，表示(i-1)*b[i]

这样我们维护b数组和c数组的前缀和就可以实现a数组的区间修改和区间查询了。

表达式：suma(m)=m*sumb(m)-sumc(m)

这里维护b数组的前缀数组依旧可以和a的类型相同，但是维护c数组的数组多半需要开LL（极限不会超过n*a的）。

查找第K大元素

基于权值树状数组，要用到前面强调的lowbit操作。

根据一种很神奇的倍增思想。。。

就是根据倍增思想， 当我们把一个数加上2^k后（之前加的k都比当前k大），我们的c数组（树状数组），c[i+ 2^k]的值就是我们增加的这一段权值的个数（记住我们是权值树状数组哦）。就可以直接判断当前元素个数是否超过了K，超过了就退回去，否则就保留。

这种问题还去用线段树真是麻烦哎。

在实现中要注意的问题

• 树状数组必须从1开始
• 树状数组的最大值以及数组定义的值相同就会爆数组，应该单独设置N作为树状数组上限，在开数组的时候再额外加一点。

代码

单点修改区间查询

这么弱智就不贴了吧

区间修改单点查询

这么弱智也不贴了吧

区间修改区间查询

这么弱智。。。。
我贴。。。

struct BIT 
{
    int c1[maxn];
    LL c2[maxn];
    void Initial()
    {
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
    }
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void update(int i,int j,int x)
    {
        LL ad1=1ll*(i-1)*x,ad2=1ll*j*x;
        for(int t=i;t<=n;t+=lowbit(t))c1[t]+=x,c2[t]+=ad1;
        for(int t=j+1;t<=n;t+=lowbit(t))c1[t]-=x,c2[t]-=ad2;
    }
    LL sum(int i)
    {
        LL ret=0;
        for(int t=i;t;t-=lowbit(t))ret+=1ll*i*c1[t],ret-=c2[t];
        return ret;
    }
}bit;

果然短小精干吧，比线段树好多了吧。。（ZKW线段树除外，这两者本身就有密不可分的联系）

查询第k大元素

核心代码：

//这里是第K小元素
//oo=floor(log2(n))
int Kth(int k)
{
    int ans=0,cnt=0;
    for(int i=oo;i>=0;i--)
    {
        ans+=(1<if(ans>N || cnt+c[ans]>=k)ans-=(1<else cnt+=c[ans];
    }
    return ++ans;
}

代码注意：
- 这里cnt+c[ans]>=k返回是为了防止跳过，最后会停在正确答案的前一个位置，重复元素也不会影响结果。
- 最后还可以通过ans返回n+1来判断是否存在第K大元素