背包问题系列--"0-1背包问题"

背包问题一直以来就是一类十分重要的题。而其中以DP为著称的“0-1背包”就是一道非常经典的题。

题目如下：

【基础算法】0-1背包问题 时间限制: 1 Sec 内存限制:64MB
有 n 件物品,
每件物品有一个价值和一个重量，分别记为： b1,b2, …bn w1,w2, …wn 其中所有的 重量wi 均为整数。
现有一个背包，其最大载重量为W，要求从这n件物品中任取若干件（这些物品要么被装入要么被留下）。问背包中装入哪些物品可使得所装物品的价值和最大？

输入

第1行：2个整数n(1<=n<=1000)和W(1<=W<=10000)，分别表示物品的件数和背包的最大载重量。

输出

第1行：1个整数，表示背包所能装下的物品的最大总价值。

第2-？行：每行3个用空格分开的整数，i, wi, bi，分别表示最优解中的物品的编号、重量和价值。

样例输入

4 5 2 3 3 4 4 5 5 6

样例输出

7 1 2 3 2 3 4

分析：由题意知，我们先定义n（物品件数）,k（背包载重量）,t[1005(i)]（每件物品重量）,m[1005(i)]（每件物品价值）与f[1005(i)][10005(j)]（前i个物品用载重量为j的背包的最大价值）,l（为输出定义下标）,pre[1005(i)]（存答案）。

int n,k,t[1005],m[1005],f[1005][10005],pre[1005],l;

输入

scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&t[i],&m[i]);

不难看出其状态转移方程式为递到上一个并判断

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+m[i])；

但此处有一个值得注意的点：就是当前行可能没被上一行读入。
对于此情况，我们可以用判断语句或强势复制解决：
判断：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=k;j++)
    {
        if(j>=w[i])
          f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+m[i])；
        else
          f[i][j]=f[i-1][j];
    }

复制:

for(int i=1;i<=n;i++)
{
        memcpy(f[i],f[i-1],sizeof(f[i]));
        for(int j=t[i];j<=k;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+m[i]);
}

输出：

printf("%d\n",f[n][k]);

接下来就是找序号了，在这里我们可以运用for循环从末到前地查找坐标并用if判断。边判断边用数组存。

for(int i=n;i>=1;i--)
    if(f[i][k]==f[i-1][k-t[i]]+m[i]&&t[i]<=k)
    {
        pre[++l]=i;
        k-=t[i];
    }

输出

for(int i=l;i>=1;i--)
        printf("%d %d %d\n",pre[i],t[pre[i]],m[pre[i]]);

最后完整代码如下：

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,k,t[1005],m[1005],f[1005][10005],pre[1005],l;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&t[i],&m[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memcpy(f[i],f[i-1],sizeof(f[i]));
        for(int j=t[i];j<=k;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+m[i]);
    }
    printf("%d\n",f[n][k]);
    for(int i=n;i>=1;i--)
        if(f[i][k]==f[i-1][k-t[i]]+m[i]&&t[i]<=k)
        {
            pre[++l]=i;
            k-=t[i];
        }
    for(int i=l;i>=1;i--)
        printf("%d %d %d\n",pre[i],t[pre[i]],m[pre[i]]);
}

通过本题的讲解,我们可以知道DP的思路与处理方式。
欲知后续背包，请看下集。