【线段树+思维】CF1083C Max Mex

【题目】
原题地址
给定一棵$n$个点的树，每个点分别有$0$~$n-1$的点权。有$q$个操作：

• 询问树上所有路径中最大的$mex$是多少
• 将两个点的点权交换。
  $n,q\le 2\times 10^5$

【解题思路】
由$mex$的定义，我们知道我们只需要知道前$i$个权是否在一条路径上，这个显然是满足二分性的，那么问题就在于如何维护这个东西。假设$0$~ $i$和$i+1$~$j$分别在同一条路径上，那么问题就可以转化为这两条路径是否能连在一起。那么这个问题我们先求出$\text{dfs}$，然后用求路径交的类似方法就可以维护合并了。
整体我们显然可以用线段树来维护。时间复杂度$O(n\log n)$

【参考代码】

#include
#define pb push_back
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
const int N=2e5+10,M=N*4;
int Q,n,ind,ans;
int fc[25],dep[N],in[N],out[N],a[N],fa[21][N];
vector<int>g[N];

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}

void dfs(int x)
{
	in[x]=++ind;
	for(int i=1;fc[i]<=dep[x];++i) fa[i][x]=fa[i-1][fa[i-1][x]];
	for(int i=0;i<(int)g[x].size();++i) 
	{
		int v=g[x][i];
		fa[0][v]=x;dep[v]=dep[x]+1;
		dfs(g[x][i]);
	}
	out[x]=++ind;
}

int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int t=dep[x]-dep[y],i=0;t;++i)
		if(t&fc[i]) x=fa[i][x],t^=fc[i];
	for(int i=19;~i;--i) if(fa[i][x]^fa[i][y])
		x=fa[i][x],y=fa[i][y];
	return x==y?x:fa[0][x];
}

namespace Segment
{
	#define ls (x<<1)
	#define rs (x<<1|1)
	pii t[M],res;

	bool anc(int x,int y){return in[x]<=in[y] && out[x]>=out[y];}
	pii check(pii x,int y)
	{
		if(!x.fi || !y) return mkp(0,0);
		if(anc(x.fi,x.se)) swap(x.fi,x.se);
		if(anc(x.se,x.fi))
		{
			if(anc(x.fi,y)) return mkp(x.se,y);
			if(anc(x.se,y))
			{	
				if(anc(y,x.fi)) return x;
				if(lca(x.fi,y)==x.se) return mkp(x.fi,y); 
				return mkp(0,0);
			}
			return mkp(y,x.fi);
		}
		if(anc(x.fi,y)) return mkp(y,x.se);
		if(anc(x.se,y)) return mkp(y,x.fi);
		if(!anc(y,x.fi) && !anc(y,x.se)) return mkp(0,0);
		if(!anc(lca(x.fi,x.se),y)) return mkp(0,0);
		return x;
	}
	pii merge(pii x,pii y)
	{
		if(x.fi==-1) return y;
		x=check(x,y.fi);x=check(x,y.se);
		return x;
	}
	void update(int x,int l,int r,int p,int v)
	{
		if(l==r){t[x]=mkp(v,v);return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(p<=mid) update(ls,l,mid,p,v);
		else update(rs,mid+1,r,p,v);
		t[x]=merge(t[ls],t[rs]);
	}
	bool query(int x,int l,int r)
	{
		pii tmp=merge(res,t[x]);
		if(tmp.fi){res=tmp;ans=r;return 1;}
		if(l==r) return 0;
		int mid=(l+r)>>1;
		if(query(ls,l,mid)) query(rs,mid+1,r);
		return 0;
	}
};
using namespace Segment;

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("CF1083C.in","r",stdin);
	freopen("CF1083C.out","w",stdout);
#endif
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read()+1;
	for(int i=2;i<=n;++i) g[read()].pb(i);
	fc[0]=1;for(int i=1;i<=20;++i)fc[i]=fc[i-1]<<1;
	
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n;++i) update(1,1,n,a[i],i);

	Q=read();
	while(Q--)
	{
		int op=read(),x,y;
		if(op&1)
		{
			x=read();y=read();swap(a[x],a[y]);
			update(1,1,n,a[x],x);update(1,1,n,a[y],y);
		}
		else 
		{
			res=mkp(-1,0);ans=1;query(1,1,n);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}