NKOJ 1533 玩具（三分+贪心+单调队列）

P1533【Usaco Nov08 Gold】玩具

问题描述

Bessie的生日快到了, 她希望用D (1 <= D <= 100,000; 70%的测试数据都满足1 <= D <= 500)天来庆祝. 奶牛们的注意力不会太集中, 因此Bessie想通过提供玩具的方式来使它们高兴. 她已经计算出了第i天需要的玩具数T_i (1 <= T_i <= 50). Bessie的幼儿园提供了许多服务给它们的奶牛程序员们, 包括一个每天以Tc (1 <= Tc <= 60)美元卖出商品的玩具店. Bessie想尽可能的节省钱, 但是Farmer John担心没有经过消毒的玩具会带来传染病(玩具店卖出的玩具是经过消毒的).

有两种消毒的方式. 第1种方式需要收费C1美元, 需要N1个晚上的时间; 第2种方式需要收费C2美元, 需要N2个晚上的时间(1 <= N1 <= D; 1 <= N2 <= D; 1 <= C1 <= 60;1 <= C2 <= 60). Bessie在party结束之后把她的玩具带去消毒. 如果消毒只需要一天,那么第二天就可以拿到; 如果还需要一天, 那么第三天才可以拿到.

作为一个受过教育的奶牛, Bessie已经了解到节约的意义. 帮助她找到提供玩具的最便宜的方法.

输入格式

• 第 1 行: 六个用空格隔开的整数 D, N1, N2, C1, C2, Tc
• 第 2..D+1 行: 第 i+1 行包含一个整数: T_i

输出格式

• 第 1 行: 提供玩具所需要的最小费用.

样例输入

4 1 2 2 1 3
8
2
1
6

样例输出

35

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设 F(x) 表示总共买 x 个玩具提供玩具的总费用，设 G(x) 表示总共买 x 个玩具所需要的给玩具消毒的费用。

那么显然有 F(x)=G(x)+x×Tc
那么由于此题可以用费用流求解，那么根据VFK神犇的证明， F(x) 的一阶导数单调不降，因此 F(x) 是下凸的单峰函数。具体证明参见VFK。

那么如何求解 G(x) ，贪心即可。
如果慢消毒的费用比快消毒高，那么显然只用快消毒。
如果买玩具比消毒便宜，那么显然全部买。
之后考虑一般情况，如果时间允许，那么显然慢消毒是更优的。
因此开三个单调队列维护，维护时间单调递减。
第一个队列 A 表示慢消毒的玩具，第二个队列 B 表示快消毒的玩具，第三个队列 C 表示还没有完成消毒的玩具。
维护时，每天用完的玩具加到C队列中。
当C队列的队首时间与现在的时间差值大于等于快消毒时间时，将他加入B中。
当B队列的队首时间与现在的时间差值大于等于慢消毒时间时，将他加入A中。
每次优先用C队列的队首，然后再用B队列的队尾，不够用就说明买的不够，返回无穷大。
贪心的正确性是显然的，具体可参考代码。

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代码：

#include
#include
#include
#include
#define N 123456
using namespace std;
struct node
{
    int x,y;
    node(int a,int b){x=a;y=b;}
};
dequeA,B,C;
int d,n1,n2,c1,c2,tc,T[N],sum;
int ok(int k)
{
    int i,j,ans;
    A.clear();B.clear();C.clear();
    ans=(tc-c1)*k;
    A.push_back(node(k,0));
    for(i=1;i<=d;i++)
    {
        while(C.size()&&i-C.front().y>=n2)B.push_back(C.front()),C.pop_front();
        while(B.size()&&i-B.front().y>=n1)A.push_back(B.front()),B.pop_front();
        j=T[i];
        while(j)
        {
            if(A.size())
            {
                if(A.front().x>j)
                {
                    A.front().x-=j;
                    ans+=c1*j;j=0;
                }
                else
                {
                    j-=A.front().x;
                    ans+=c1*A.front().x;
                    A.pop_front();
                }
            }
            else if(B.size())
            {
                if(B.back().x>j)
                {
                    B.back().x-=j;
                    ans+=c2*j;j=0;
                }
                else
                {
                    j-=B.back().x;
                    ans+=c2*B.back().x;
                    B.pop_back();
                }
            }
            else return 1e9;
        }
        C.push_back(node(T[i],i));
    }
    return ans;
}
void EF(int l,int r)
{
    int lmid,rmid,ans=1e9;
    while(l+23+l;
        rmid=(lmid+r)/2;
        if(ok(lmid)>ok(rmid))l=lmid;
        else r=rmid;
    }
    while(l<=r)ans=min(ans,ok(l)),l++;
    printf("%d",ans);
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&d,&n1,&n2,&c1,&c2,&tc);
    for(i=1;i<=d;i++)scanf("%d",&T[i]),sum+=T[i];
    if(tc<=c1&&tc<=c2){printf("%d",sum*tc);return 0;}
    if(n1if(c1>=c2)n1=n2,c1=c2;
    EF(0,sum);
}