从 Project Euler 中我们学到了什么？(2010-12-26)

最近做 Project Euler 的第41问时学到了不少东西，数论、Mathematica⋯⋯

题目是这样的：

如果一个 n 位数的各位数字中恰好 1 到 n 各出现了一次，那么就说这个数 pandigital 。比如，2143 就是一个 4 位的 pandigital 质数。请问是否存在最大的 pandigital 质数？

我不管三七二十一，用 Ruby 暴力搜索了好一会，终于获得了论坛的入场券。Project Euler问题后面的讨论是一笔宝贵的财富，你总能找到一些耀眼的思想火花。比如，我就看到了某哥们写到：

Select[FromDigits /@ Permutations@Range@#, PrimeQ] &~Array~7 // Max

以前我总认为 Mathematica 不过是把圆括号变成方括号的 Lisp ，语法应该不难，但现在我懵了，这是什么写法。我不喜欢 Mathematica ，主要是因为我不喜欢那一大砣看似毫无联系的函数。但现在，我决定好好地学学 Mathematica 。

Mathematica 继承了 Lisp 简约的语法和统一的形式，虽然在 list 的实现方式上略有不同（ Mathematica 是用数组而非链接表来实现 list 的）。

1. Mathematica 中一切都皆为表达式（其实也好理解，Lisp 程序不就是由list 构成的吗）；

2. 模式匹配和代入规则：

    a->b
   

这句话的意思是，凡遇到 a ，则替换为 b 。如果要应用规则，则需要用/.来应用规则。

Mathematica计算的核心是一个循环：它根据表达式不断地套用规则，直到结果不再变化为止。

I. Mathematica中的四种括号：

• 圆括号( )，用于改变操作的结合顺序；
• 花括号{ }，专用于列表；
• 单方括号[ ]，标识表达式的域；
• 双方括号[[ ]]，Part函数的简写，作用同下标。

II. 纯函数

就是Mathematica中的Λ-算子。Function[x, body]等价于body&。这里先介绍四个记号用于纯函数中的特殊记号：

• #n，表示第 n 个参数；
• #，表示第一个参数，即#1；
• ##，表示所有参数；
• ##n，表示第 n 个及之后的参数。

III 一些语言习惯

函数都是平等的，但总有些函数更平等，因为它们应用得更广泛。本着少写代码的原则，Wolfram 为这些高阶函数制定了一些“黑话”：

IV. 最后介绍一下 Mathematica 中函数的几种作用方式：

现在可以看看我们那位美国仁兄用了多少奇技淫巧了。他动用了函数的四种作用方式、 Map 的简写等来隐藏其背后蛮力搜索的直白算法^_

最后，说说那个不起眼的7。我们要找一个最大的 pandigital 质数，但其实只要搜索 1 到 987654321 就行了。但 987654321 毕竟也是个很大的数，但注意到我们要考虑的只是 1 到 n 的轮换，而且还是质数，所以没必要搜索 987654321 个数。另外，我们注意到：

1+……+9 = 45，
1+……+8 = 36，
1+……+7 = 28，
1+……+6 = 21，
1+……+5 = 15，
1+……+4 = 10，
1+……+3 = 6，
1+……+2 = 3，
（ 1 就不用考虑了，它连质数都不算）

除了 1 到 4 和 1 到 7 ，其他都能被 3 整除（说明这些组合都是 3 的倍数）

其实，只需考虑 1 到 7 的情况，谁让它大呢！

Fold[Plus, 0, Range[1, 9]]

这里又要多一句，为什么一个数的各位数相加，如果其和能被 3 整除，则其数能被 3 整除。

显而易见， 只要(an + …… + a2 + a1)能被 3 整除，那么an……a2a1也能被 3 整除。

P.S. 7652413