从 Project Euler 中我们学到了什么?(2010-12-26)

最近做 Project Euler 的第41问时学到了不少东西,数论、Mathematica⋯⋯

题目是这样的:

如果一个 n 位数的各位数字中恰好 1 到 n 各出现了一次,那么就说这个数 pandigital 。比如,2143 就是一个 4 位的 pandigital 质数。请问是否存在最大的 pandigital 质数?

我不管三七二十一,用 Ruby 暴力搜索了好一会,终于获得了论坛的入场券。Project Euler问题后面的讨论是一笔宝贵的财富,你总能找到一些耀眼的思想火花。比如,我就看到了某哥们写到:

Select[FromDigits /@ Permutations@Range@#, PrimeQ] &~Array~7 // Max

以前我总认为 Mathematica 不过是把圆括号变成方括号的 Lisp ,语法应该不难,但现在我懵了,这是什么写法。我不喜欢 Mathematica ,主要是因为我不喜欢那一大砣看似毫无联系的函数。但现在,我决定好好地学学 Mathematica 。

Mathematica 继承了 Lisp 简约的语法和统一的形式,虽然在 list 的实现方式上略有不同( Mathematica 是用数组而非链接表来实现 list 的)。

  1. Mathematica 中一切都皆为表达式(其实也好理解,Lisp 程序不就是由list 构成的吗);

  2. 模式匹配和代入规则:

     a->b
    

这句话的意思是,凡遇到 a ,则替换为 b 。如果要应用规则,则需要用/.来应用规则。

Mathematica计算的核心是一个循环:它根据表达式不断地套用规则,直到结果不再变化为止。

I. Mathematica中的四种括号:

  • 圆括号( ),用于改变操作的结合顺序;
  • 花括号{ },专用于列表;
  • 单方括号[ ],标识表达式的域;
  • 双方括号[[ ]],Part函数的简写,作用同下标。

II. 纯函数

就是Mathematica中的Λ-算子。Function[x, body]等价于body&。这里先介绍四个记号用于纯函数中的特殊记号:

  • #n,表示第 n 个参数;
  • #,表示第一个参数,即#1
  • ##,表示所有参数;
  • ##n,表示第 n 个及之后的参数。

III 一些语言习惯

函数都是平等的,但总有些函数更平等,因为它们应用得更广泛。本着少写代码的原则,Wolfram 为这些高阶函数制定了一些“黑话”:

IV. 最后介绍一下 Mathematica 中函数的几种作用方式:

从 Project Euler 中我们学到了什么?(2010-12-26)_第1张图片

现在可以看看我们那位美国仁兄用了多少奇技淫巧了。他动用了函数的四种作用方式、 Map 的简写等来隐藏其背后蛮力搜索的直白算法_

从 Project Euler 中我们学到了什么?(2010-12-26)_第2张图片

最后,说说那个不起眼的7。我们要找一个最大的 pandigital 质数,但其实只要搜索 1 到 987654321 就行了。但 987654321 毕竟也是个很大的数,但注意到我们要考虑的只是 1 到 n 的轮换,而且还是质数,所以没必要搜索 987654321 个数。另外,我们注意到:

1+……+9 = 45,
1+……+8 = 36,
1+……+7 = 28,
1+……+6 = 21,
1+……+5 = 15,
1+……+4 = 10,
1+……+3 = 6,
1+……+2 = 3,
( 1 就不用考虑了,它连质数都不算)

除了 1 到 4 和 1 到 7 ,其他都能被 3 整除(说明这些组合都是 3 的倍数)

其实,只需考虑 1 到 7 的情况,谁让它大呢!

Fold[Plus, 0, Range[1, 9]]

这里又要多一句,为什么一个数的各位数相加,如果其和能被 3 整除,则其数能被 3 整除。

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显而易见, 只要(an + …… + a2 + a1)能被 3 整除,那么an……a2a1也能被 3 整除。

P.S. 7652413

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