2020.06.21日常总结

$$\text{UVA10780 Again Prime? No Time.}$$

$\text{[Problem]}$

• 给定两个数 $n,m$，求一个最大的整数 $k$，使得 $m^k$ 是 $n!$ 的因子。
• $2\le m\le 5\times 10^3,1\le n\le 1\times 10^4$。

$\text{[Soluntion]}$

根据唯一分解定理，我们可以把 $n!,m$ 分解成如下的形式：

$$\begin{array}{rl}n!& =2^{p_1}\times 3^{p_2}\times \cdots \times a_t^{p_t}\\ m& =2^{q_1}\times 3^{q_2}\times \cdots \times a_t^{q_t}\end{array}$$

其中 $a_t$ 表示第 $t$ 小的素数。

首先看 $m^k$ 可以写成什么样的形式：

$$m^k=2^{q_1\times k}\times 3^{q_2\times k}\times \cdots \times a_t^{q_t\times k}$$

这样，我们就把 $m^k$ 这么个好看的数字给表示出来了。

再考虑什么样的数可以被 $n!$ 整除，很简单，只要满足：

$$q_i\times k\le p_i(1\le i\le t)$$

那么，$m^k$ 就是 $n!$ 的因子。

既然如此，那么最大的 $k$ 就是：

$$\underset{1\le i\le t}{\min }\{\frac{p_i}{q_i}\}$$

现在，再让我们想想如何用唯一分解式表示出 $n!$。

我们发现，我们不能直接求出 $n!$，所以不能直接用唯一分解式表示出 $n!$。

但是，我们有：

$$\begin{array}{rl}{g}_1& =\prod _{i=1}^r{a}_i^{k_i}\\ g_2& =\prod _{i=1}^r{a}_i^{l_i}\end{array}$$

则：

$$g_1\times g_2=\prod _{i=1}^r{a}_i^{k_i+l_i}$$

既然如此，我们可以用唯一分解式表示出所有的 $n(1\le n\le 1\times 10^4)$。然后我们做一次前缀和就可以表示 $n!$。

还有一个坑点就是，当 $q_i=0(1\le i\le t)$ 时，我们不应该让它参与答案的计算。因为无论 $k$ 等于多少，$q_i\times k=0$。但是如果让它参与计算，则会除 $0$ 错误。

$\text{[code]}$

int prime[1310],tot;
bool is_prime[10100];
inline void get_prime(int N){
	for(int i=1;i<=N;i++)
		is_prime[i]=true;
	is_prime[1]=false;tot=0;
	for(int i=2;i<=N;i++)
		if (is_prime[i]){//是素数 
			prime[++tot]=i;//素数表 
			for(int j=i;j<=N/i;j++)
				is_prime[i*j]=false;
		}
}
int f[1310][10100];//一个前缀和 
short g[10100][1310];//节约空间 
inline void calc_g_and_f(int N){
	for(int i=2;i<=N;i++){
		register int copy=i;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			while (copy%prime[j]==0){
				g[i][j]++;//!!!
				copy/=prime[j];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=1;j<=N;j++)
			f[i][j]=f[i][j-1]+g[j][i];
}
int test_number,ans,n,m,t;
int main(){
	get_prime(10000);
	calc_g_and_f(10000);
	scanf("%d",&test_number);
	while (test_number--){
		scanf("%d%d",&m,&n);
		ans=0x3f3f3f3f;//init
		register bool flag=true;
		printf("Case %d:\n",++t);
		for(int i=1;i<=tot;i++)
			if (g[m][i]>f[i][n]){
				puts("Impossible to divide");
				flag=false;break;//做标记 
			}
			else if (g[m][i]!=0)//有这个因数 
				ans=min(ans,f[i][n]/g[m][i]);
		if (flag) printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}