min_25筛

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用处：

求解一类函数$F(x)$的前缀和，满足：

1.对于质数$p$，$F(p^k)$方便计算。（计算S的时候需要算增量）

2.对于质数，$F(p)$为一个简单多项式（可以快速算前缀和）。

不支持多组数据。

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算法步骤：

设P为质数集合。

定义g(n,x)为1到n中，质数或者最小值因子>p[x]的合数。

换句话说，这里的g(n,x)为做完前x次埃氏筛后剩下的元素。

那么，有式子：

$g(n,x)=g(n,x-1)-X,X$为偏移量，也就是第x轮被筛掉的数。它们就是最小质因子为p[x]的所有合数。

考虑计算$X$：

$X=f(p[x])\ast (g(n/p[x],x-1)-g(p[x]-1,x-1))$

可以理解为提取了一个$p[x]$因子，$g(n/p[x],x-1)$前面还有一些质数，这些质数的和即后者。

观察，可以发现$g(n,0)$即为所有数的$F$之和，$g(n,|p|)$为所有质数的$F$之和。

我们要求的就是$g(n,|p|)$。

但我们发现其实出了点小问题，就是我们的计算其实不是满足定义式的。对于一个合数$x$，我们计算的方法好像是：

${\prod }_{P\in x}{f}^k(P)$

而不是

${\prod }_{P\in x}f(P^K)$

但是没有关系，我们把所有合数的计算都用质数的方法计算。因为所有合数最后都要被消掉，最后只剩下质数的答案也就是$g(n,|p|)$。

至此，我们计算了所有的质数答案，我们现在来算合数的答案。

记录$S(n,x)$为所有最小质因子>x的数的和。注意这里没有质数这一条件。

$S(n,x)=g(n,|p|)-{\sum }_{i=1}^{x}f(p[i])+{\sum }_{k=x+1}^{sqrt(n)}({\sum }_{i,p[k{]}^i<=n}f(p[k{]}^i)+{\sum }_{i,p[k{]}^{i+1}<=n}f(p[k{]}^i)\ast S(n/(p[k{]}^i),k))$

其实逐位分析不难。

前两项计算完为所有质数的值。

后面计算合数，枚举最小质因子所在的位置。

第一种，只含有这一个质因子，就是第三项。第二种，还有其他的，就是第四项。

最后答案为$S(n,0)+F(1)$ .