弦图(Chordal Graph)学习小记

前言

这是个什么神仙玩意儿？(仙图
先把结论贴出来方便背板，证明什么的啃完再补
考NOI前千万不要点开什么毒瘤的技能树
所以现在点
由于很懒所以想到哪写到哪

一些约定

$G$无向图
$G[S]$点集S的诱导子图
$\delta (S)$点集S的临集

一些定义

弦

连接环上不相邻两点之间的边

弦图

任意长度>=4的环都有至少一条弦的图
这是弦图，这不是弦图.jpg

单纯点

一个点v是单纯点当且仅当$G[\delta (v)]+v$是团

完美消除序列

一个n的排列v1,v2,v3…vn,满足vi在vi,vi+1,vi+2…vn的诱导子图中是一个单纯点

一些性质

弦图的判定

一个图是弦图当且仅当其有完美消除序列

最大势算法(MCS)

每个点有一个标号label[v]，初始label[v]=0
从后往前确定完美消除序列中的每一个元素，每次选择label最大的点v加入序列，并将$\delta (v)$中的点的label+1
具体实现可以开n个队列，不需要删除
复杂度O(n+m)

void MCS() {
    int mx=0;
    fo(i,0,n) lst[i+n+1]=0;
    fo(i,1,n) sz[i]=0,vis[i]=0,add(n+1,i);
    fd(j,n,1) {
        int p=0;
        for(++mx;!p;) {
            --mx;int Id=mx+n+1;
            while (int k=lst[Id]) {
                int x=t[k];
                lst[Id]=nxt[k];
                if (!vis[x]) {
                    vis[x]=1;
                    rep(i,x) {
                        int y=t[i];
                        if (!vis[y]) {
                            mx=max(mx,++sz[y]);
                            add(sz[y]+n+1,y);
                        }
                    }
                    p=x;
                    break;
                }
            }
        }
        seq[rk[p]=j]=p;
    }
}

弦图的判定

bzoj1242
先跑一边MCS，然后考虑判定每个点是不是单纯点
直接暴力是O((∑deg)^2)的，设$\alpha (v)$表示v在完美消除序列中的排名，v1,v2…vk表示$\delta (v)$中$\alpha$大于v的点按$\alpha$排序之后的序列，那么只需要判断v1是否和v2…vk相邻即可。

弦图的极大团

设$N(v)=u|u\in \delta (v)且\alpha (u)>\alpha (v)$
定理：弦图中所有的团都满足是$v\cup N(v)$的形式
如何判断某一个$v\cup N(v)$是不是极大团？
若存在u，令$A=u\cup N(u)$ $B=v\cup N(v)$，若$B\subseteq A$则$v\cup N(v)$不是极大团
显然此时$\alpha (w)<\alpha (v)$
令$nxt[v]$表示$N(v)$中最前的点，$w\ast$表示所有满足$B\subseteq A$的w的最后的一个点。
那么此时有$nxt[w\ast ]=v$
于是我们只需要判定所有$nxt[w]=v$的点w
判定的话只需要$|N(v)|+1<=|N(w)|$