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Description
给出\(n,m(n,m\leq10^9)\)和\(k(k\leq2000)\)，求在\(k\)进制下，有多少个数值不同的纯循环小数可以表示成\(\dfrac{x}{y}\)的形式，其中\(x\in[1,n],y\in[1,m]\)。一个数是纯循环小数当且仅当它能写成\(a.\dot{c_1} c_2 c_3 \ldots c_{p-1}\dot{c_p}\)的形式。
Solution
原题相当于求有多少个数对\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)=1\)且\(\dfrac{x}{y}\)是纯循环小数。因为若\(x,y\)不互质且在范围内，将\(\dfrac{x}{y}\)化为最简分数依然在范围内。
首先考虑一个数是纯循环小数意味着什么。
\[\begin{align*} a.\dot{c_1} c_2 c_3 \ldots c_{p-1}\dot{c_p} &= a+\sum_{i=0}^{+∞}(0.c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_{k}\cdot k^{-ip} \\ &= a+(0.c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_{k}\sum_{i=0}^{+\infty}(k^{-p})^i \\ &= a+\frac{1}{1-k^{-p}}(0.c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_{k} \\ &= a+\frac{(c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_k}{k^p-1} \\ \frac{x}{y} &= a+\frac{(c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_k}{k^p-1} \\ \lfloor \frac{x}{y} \rfloor + \frac{x \bmod y}{y} &= a+\frac{(c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_k}{k^p-1} \end{align*}\] 令\(a=\lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor\)，那么若\(\dfrac{x \bmod y}{y}\)能表示成\(\dfrac{(c_1c_2c_3\ldots c_{p-1}c_p)_k}{k^p-1}\)的形式则说明\(\dfrac{x}{y}\)是纯循环小数。由于\(\dfrac{x \bmod y}{y}\)是最简分数，所以\(\dfrac{x}{y}\)是纯循环小数 ⇔ \(\exists p\)使得\(y|k^p-1\) ⇔ \(\exists p\)使得\(k^p \bmod y = 1\) ⇔ \(gcd(y,k)=1\)。
于是原题相当于求
\[\begin{align*} ans &= \sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n [gcd(x,y)=1][gcd(y,k)=1] \\ &= \sum_{d=1}^{+∞} \mu(d) \sum_{d|x}^n \sum_{d|y}^m [gcd(y,k)=1] \\ &= \sum_{d=1}^{+∞} \mu(d) \lfloor\frac{n}{d}\rfloor \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [gcd(id,k)=1] \\ &= \sum_{d=1}^{min(n,m)} [gcd(d,k)=1]\mu(d) \lfloor\frac{n}{d}\rfloor \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [gcd(i,k)=1] \\ \end{align*}\]于是我们发现我们主要要求两个东西：\(f(x,k)=\sum_{i=1}^x [gcd(i,k)=1]\)和\(g(x,k)=\sum_{i=1}^x [gcd(i,k)=1]\mu(i)\)。算出他们就可以利用整除分块来快速计算。
易知\(f(x,k)=\lfloor\dfrac{x}{k}\rfloor f(k,k)+f(x\bmod k,k)\)，而对于\(x\in[0,k]\)我们都可以预处理出来，所以\(f\)很好求。
考虑\(g\)怎么求。将\(k\)表示成\(p^tq\)的形式，其中\(p\)是质数，\(gcd(p,q)=1\)。那么\(gcd(i,k)=1 ⇔ gcd(i,p)=1,gcd(i,q)=1\)。那么我们从满足\(gcd(i,q)=1\)的\(i\)中减去\(gcd(i,p)\neq1\)即\(p|i\)的部分，即：
\[\begin{align*} g(x,k) &= \sum_{i=1}^x[gcd(i,q)=1]\mu(i)-\sum_{p|i}^x[gcd(i,q)=1]\mu(i) \\ &= g(x,q)-\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{x}{p}\rfloor}[gcd(ip,q)=1][gcd(i,p)=1]\mu(ip) \\ &= g(x,q)-\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{x}{p}\rfloor}[gcd(i,k)=1]\mu(i)\mu(p) \\ &= g(x,q)-g(\lfloor\frac{x}{p}\rfloor,k) \end{align*}\] 易知\(g(x,1)=\sum_{i=1}^x \mu(i)\)，可以用杜教筛来求。用map或哈希表来对\(g\)进行存储以进行记忆化搜索，就可以通过本题啦。
Code
//「NOI2016」循环之美
#include
#include P.S.
本题中\(n,m\)的意义不等价，不可以互换...我以前为了简洁经常是用swap钦定\(n