贪心算法之区间覆盖问题

问题描述：用i表示x轴上坐标为[i-1,i]的区间（区间长度为1），并给出M个不同的整数来表示M个这样的区间。现在要求画出几条线段覆盖住所有的区间，条件是：每条线段可任意长，但要求所画线段长度之和最小，并且线段的数目不超过N。

举例：给出M=6，1,2,4,5,7,11，分别表示6个长度为1的区间，要求用不超过N=3条线段将其覆盖。

 

上图给出了一种可行的覆盖方案，用三段长线段覆盖住6个长度为1的小线段，使得3短线段长度之和最小。

例如：M=5，整数1、3、4、8、11表示区间。
    要求：所用线段不超过 N=3条。

分析：
    1) 整型数组p[M]表示所有从0开始的区间长度，假设p[M]已经按从小到大的顺序排好；

    2) 如果N>=M，那么用 M条长度为 1 的线段可以覆盖住所有的区间，所求的线段总长为 M；

3）如果N＜M，可以按照如下的贪心准则解决：

① 如果N=1，即要用一条线段覆盖住所有区间。

      线段总长：p[M-1]-p[0]+1。

其中：p[0]=1  ,  p[1]=3  ,   p[2]=4 , ……，p[M-1]=M--区间总长度

② 如果N=2，即要用 2 条线段覆盖住所有区间，相当于把N=1中的线段分为两部分，各覆盖左、右区间。

如果线段在M个区间中不相邻的区间之间断开（如在p[0]与p[1]之间），这样总长度小于断开之前。【不相邻的很多怎么办？】

线段总长度减少： p[1]-p[0]-1

回顾我们的题目要求：求最小线段总长。

找到间隔最大的两个相邻区间，将之断开。

   这一过程相当于找：d[i]=p[i]-p[i-1]-1(1＜i＜M)的最大值

如果N=3，相当于在N=2的方案下，将某条线段断成两截，并作可能的端点调整。

为了得到当前情况下最小的总长度，同样应该在间隔最大的两个相邻区间之间断开。

    如果原来的方案是N=2时总长最小的方案，这一操作是N=3时总长最小的方案。

当N=k（k＞1）时依此类推，只需在N=k-1时最小总长的覆盖方案下，找到被同一条线段覆盖的间隔最大的两个相邻区间

------“贪心”地从间隔处断开并调整两边线段的端点，就可以得到总长最小的方案

贪心策略就是每次从找到当前间隔最大的相邻区间

下面给出一个最简单的Java实现对于优化是简单的，利用排序

import java.util.Scanner;



public class Qujianfugai {
	
	
	public static int searchmax(int []d)
	{
		int max=0;
		for(int i=0;id[max])
			{
				max=i;
			}
		}
		return max;
	}
	
	
	
	public static void search(int []p,int n)
	{
		int length=p.length;
		int sum=p[length-1]-p[0]+1;
		int []d=new int[length-1];
		for(int i=0;i1;i--)
		{
			int max=searchmax(d);
			int maxvalue=d[max];
			sum=sum-maxvalue;
			if(maxvalue!=0)
			{
				d[max]=0;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		System.out.println(sum);
	}
	
	
	public static void main(String args[])
	{
		Scanner input=new Scanner(System.in);
		int m=input.nextInt();
		int n=input.nextInt();
		int []p=new int[m];
		for(int i=0;i