算法预备军(2)~算法的一些概念
说明:算法预备军系列内容均为个人的学习笔记,主要是指数据结构方面的,后面在继续学习的过程中会陆续分享相关内容.数据结构这块主要学习来源为<大话数据结构这本书>,大家不喜欢摘录的,可以自行看书.
算法：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法定义中，提到了指令，指令能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。
算法具有五个基本特性：输入，输出，有穷性，确定性和可行性。
输入与输出：算法具有零个或多个输入，算法至少有一个或多个输出，算法是一定需要输出的。
有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。
可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求：
1.正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入，输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。
但是算法的“正确”通常在用法上有很大的区别，大体分为以下四个层次：
（1）算法程序没有语法错误
（2）算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
（3）算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果
（4）算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果
算法的正确性在大部分情况下都不可能用程序来证明，而是用数学方法证明的。证明一个复杂算法在所有层次上都是正确的，代价非常昂贵。所以一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准。
2.可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流。可读性是算法（也包括实现它的代码）
好坏很重要的标志。
3.健壮性：当输入数据不合法时，算法也能够做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。
4.时间效率高和存储量低：好的算法还应该具备时间效率高和存储量低的特点。设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的要求。
好的算法，应该具有正确性，可读性，健壮性，高效率和低存储量的特征。
算法效率的度量方法：（1）事后统计方法（2）事前分析估算方法
事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。但此种方法缺陷太多。
事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
经过分析，我们发现，一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：
（1）算法采用的策略、方法
（2）编译产生的代码质量
（3）问题的输入规模
（4）机器执行指令的速度
一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模
测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。最终，在分析程序的运行时间时。最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。
我们在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量与输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。
函数的渐近增长
函数渐近增长：输入规模n在没有限制的情况下，只要超过一个数值N，这个函数就总是大于另一个函数，我们称函数是渐近增长的。
函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数
某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。
算法时间复杂度：
算法时间复杂度定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写0()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n^2)叫平方阶
推导大O阶方法
推导大O阶：
（1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数
（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
（3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
得到的结果就是大O阶。
线性阶：线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次。我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。
因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
常见的时间复杂度：
O(1)——>常数阶
O(n)——>线性阶
O(n^2)——>平方阶
O(logn)——>对数阶
O(nlogn)——>nlogn阶
O(n^3)——>立方阶
O(2^n)——>指数阶
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1)