Matlab FFT与IFFT与FFTSHIFT

一、利用FFT 及 IFFT实现傅立叶正反变换

注：常用数学符号的 LaTeX 表示方法

1.周期信号的离散傅里叶级数表示

x[n] = x[n+N] N—序列周期。例： x[n]=ejkw0n 由于频率上相差 2π 的整数倍的离散时间复指数信号都是一样的。（ ejk(w0+2π)=ejkw0 ）故 N=2π/w0 ，取 kw0 在 [0,2π] 范围上，即 k∈[0,N] ，其中 N=2π/w0 . 即只有N个信号是不相同的。

若 x[n]=∑n−1i=0akejk(2π/N)n ，如何求解 ak ？ ak=1N∑N−1n=0x[n]ejk(2π/N)n ，其中 ak 也是以N为周期变化的。

对时域进行采样。采样率的影响：若是占空比一定的情况下，增加采样率，N = T/Ts = T*fs。采样点数会增多，而N不仅是空域的周期，也是频域的周期。由于离散化的过程，类似于序列冲激采样。其中频域中ws相当于N为采样频率，平常由于空域采样间隔Ts非常小，故fs非常大，远远大于wm才能使得不产生频谱混叠。而FFT函数只产生一个周期内的频谱，得到的是[0,ws]或者说是[0,fs]内的一个周期的数据。也就是说，占空比一定的情况下，增加采样率，结果是：前wm(fm)的点数不变，间距不变。只是增加了wm到ws间的点数。即频率的占空比减小了。 而频域中的点数间的间距df(dw)是由fm决定的。即是由周期函数自身的周期决定的。 周期函数离散谱的间距由ws决定，也即由Ts决定（周期函数的空域周期）。

**例**1：求在区间[-1,1]间的矩形信号的傅立叶变换。

（1）利用抽样产生离散时间

fs = 10;
ts = 1/fs;%时域抽样间隔
t = [-5:ts:5];
x = zeros(size(t));
x(41) = 0.5;
x(42:60) = ones(1,19);
x(61) = 0.5;
%x = 2*sinc(2*t);
%绘制时域波形
subplot(211)
plot(t,x);
title('矩形波时域图像');
xlabel('t');
ylabel('x(t)时域大小');

​ 核心解释：按ts的间隔(ts = 1/fs)对时间域抽样N点并且做FFT算法后，得到的是对应与频域[0,fs]间的N个值，频率分辨率为df = fs/N;同时我们知道fs其实对应着0频率，fs/2对应着-fs/2即有一个频率反转fftshift函数

时域周期为N，频域基波频率为 w0=2πN .

N = 1024;%所做的FFT点数，2的次幂能实现快速算法
X = fft(x,N);%求得x(n)的DFT结果
X = X/fs;%由于时域抽样会有一个 1/Ts的衰减，所以必须乘以Ts也即除以fs
df = fs/N;%频率分辨率
f = [0:df:df*(N-1)] - fs/2;%频率倒转

%绘制频谱图
subplot(212)
plot(f,fftshift(abs(X)));%把数据‘循环倒转’
title('傅立叶正变换');
xlabel('频率')