【斜率优化的新理解】 Harbingers

CEOI 2009 Harbingers

【题目大意】

给出一棵n个节点树，根为1，给出树上每条边的长度di和这条边连接的两个节点ui,vi。当一个点i需要向根节点传递信息时，需要先花费Si的时间把信息告知节点i的信使，然后信使开始往根节点的方向移动。当信使到的一个新的节点j时，他有两个选择：1，自己继续向根节点前进。2，花Sj的时间把信息交给当地的信使，然后由当地的信使向根节点传递信息。

第i个节点的信使通过一个单位长度的路程所花费的时间Vi。3<=n<=100000，其它出现的数子<=10^9。问从每个节点传递信息到根节点的最短时间。

【题解】

这题动态规划的解法的是显然的。令f[i]为第i个节点传递信息到根节点信息的最短时间。对于i>1，不难列出方程f[i]=min(f[j]+V[i]*(D[i]-D[j])+S[i])，j为i的祖先。

首先考虑条链上的问题。将转移方程拆开，得到f[i]=min(f[j]-V[i]*D[j]))+V[i]*D[i]+S[i]。

因为v[i]*D[i]+S[i]只与i有关，所以它不影响决策,先忽略。

我们来看f[i] = min(f[j]-V[i]*D[j]).

假设我们有一个函数g(x).

我们要使得f[i]最小，不妨设f[i]为b（截距），f[j]为y（函数值），V[i]为k（函数g(x)的斜率），D[j]为x（自变量），则有b = g(x) - k*x

移项得g(x) = k*x + b;

我们要使b尽量小，就是要维护一个（x,g(x)）的下凸壳（即（D[j],f[j]）为点的下凸壳），这样子当我们在做f[i]时，得到一个已知量V[i]（即g（x）斜率k），把斜率为k的直线从x轴负方向无穷远处向上移碰到的第一个点就是最优的。因此不在下凸壳上的点没有意义。

又因为在转移的过程中，当前节点i的D[i]值单调递增，所以可以用一个栈按照从栈底到栈顶斜率严格递增的顺序，来维护下凸壳，每次加入一个点(D[i],f[i])时，首先删除栈顶f[j]>=f[i]的元素，然后删除加入i后导致斜率不递增的栈顶元素，然后将i加入栈中。对于每次查询，可以通过二分查找找到满足和下一个节点的斜率不小于当前节点V[i]的最靠近栈顶的节点，即为最优值。

对于一条链的问题，每个节点最多进栈一次，出栈一次，因此这两种操作可以暴力实现，总的时间复杂度为O(n)，每次查询为O(logn)，最多n次查询，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。

对于一颗树上的问题，同样可以用一条链上的算法。但从子节点返回父亲节点时，需要把被删除的元素重新入栈，这样每个点可能进出栈多次，用暴力实现会TLE。但不难发现，每个节点入栈删除的元素只会是栈顶开始连续的若干个元素，然后入栈。因此如果用一个数组存储单调栈的话，可以用一个元素记录父节点原先栈的大小，令一个元素记录这个节点入栈的位置上原来的元素。这样就可以用O(1)的时间将栈复原。然后对于维护下凸壳的操作，可以用二分查找在O(logn)的时间内计算出要删除的元素棵树。这样维护、查询的复杂度均为O(logn)，总的时间复杂度依然为O(nlogn)，可以通过本题。