BZOJ1856【SCOI2010】字符串题解（组合数学+Catalan数）

题目：BZOJ1856.
题目大意：给定$n$个$1$和$m$个$-1$，求组成的序列每一个前缀和都不小于$0$的方案数.
$1\le n,m\le 10^6$.

首先这个问题很像经典的Catalan数问题，但这里$1$和$-1$的个数是不等的.

上面的Catalan数链接的问题4拓展已经把这个问题讲的很清楚了这里不讲了，直接上结论答案为：
$$\{\begin{array}{cc}0& n<m\\ C_{n+m}^m-C_{n+m}^{m-1}& n\ge m\end{array}$$

有了结论后就是一道简单题了.

时间复杂度$O(n)$.

代码如下：

#include
  using namespace std;
 
#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000000,mod=20100403;

int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int sub(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
int mul(int a,int b){return (LL)a*b%mod;}
int sqr(int a){return a=(LL)a*a%mod;}
void sadd(int &a,int b){a=add(a,b);}
void ssub(int &a,int b){a=sub(a,b);}
void smul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
void ssqr(int &a){a=sqr(a);}

int n,m,inv[N*2+9];

void Pre_inv(int n){
  inv[1]=1;
  for (int i=2;i<=n+m;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}

int Calc_C(int n,int m){
  int res=1;
  for (int i=1;i<=n;++i) smul(res,i);
  for (int i=1;i<=m;++i) smul(res,inv[i]);
  for (int i=1;i<=n-m;++i) smul(res,inv[i]);
  return res;
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
}

Abigail work(){
  Pre_inv(n);
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",n<m?0:sub(Calc_C(n+m,m),Calc_C(n+m,m-1)));
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}