霍夫变换

一、霍夫变换（Hough）

　　A-基本原理

一条直线可由两个点A=(X₁,Y₁)和B=(X₂,Y₂)确定(笛卡尔坐标)

另一方面，也可以写成关于（k,q）的函数表达式（霍夫空间）：

对应的变换可以通过图形直观表示：

变换后的空间成为霍夫空间。即：笛卡尔坐标系中一条直线，对应霍夫空间的一个点。

反过来同样成立（霍夫空间的一条直线，对应笛卡尔坐标系的一个点）：

再来看看A、B两个点，对应霍夫空间的情形：

一步步来，再看一下三个点共线的情况：

可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线，这些点在霍夫空间对应的直线交于一点：这也是必然，共线只有一种取值可能。

如果不止一条直线呢？再看看多个点的情况（有两条直线）：

其实（3，2）与（4，1）也可以组成直线，只不过它有两个点确定，而图中A、B两点是由三条直线汇成，这也是霍夫变换的后处理的基本方式：选择由尽可能多直线汇成的点。

看看，霍夫空间：选择由三条交汇直线确定的点（中间图），对应的笛卡尔坐标系的直线（右图）。

 到这里问题似乎解决了，已经完成了霍夫变换的求解，但是如果像下图这种情况呢？

k=∞是不方便表示的，而且q怎么取值呢，这样不是办法。因此考虑将笛卡尔坐标系换为：极坐标表示。

在极坐标系下，其实是一样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数，而是的参数，给出对比图：

霍夫变换的算法步骤：

对应code:

function  [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)
%NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.
%
[rows, cols] =  size (I);

theta_maximum = 90;
rho_maximum =  floor ( sqrt (rows^2 + cols^2)) - 1;
theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;
rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;

Hough =  zeros ( length (rho_range),  length (theta_range));
for  row = 1:rows
    for  col = 1:cols
        if  I(row, col) > 0  %only find: pixel > 0
            x = col - 1;
            y = row - 1;
            for  theta = theta_range
                rho =  round ((x *  cosd (theta)) + (y *  sind (theta)));   %approximate
                rho_index = rho + rho_maximum + 1;
                theta_index = theta + theta_maximum + 1;
                Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;
            end
        end
    end
end

　　其实本质上就是：

交点怎么求解呢？细化成坐标形式，取整后将交点对应的坐标进行累加，最后找到数值最大的点就是求解的，也就求解出了直线。