点到曲线的距离

1、正交

  正交是直观概念中垂直的推广，如果两个向量正交，则这两个向量垂直，其点乘为0.

2、点到隐曲线的距离

  假设点坐标为（dx,dy）, 曲线方程为f(x,y)=0, 从隐曲线最近点（u,v）到该点的向量必垂直于曲线，因此可以通过寻找满足下式的点获得最近点：

                      1)（u，v）是曲线上的一点，满足f(u,v)=0；

                      2）向量s=(dx,dy)-(u,v), 即 （dx-u, dy-v）;

  求出所有的s，其中最短的距离即为点到曲线的距离。

  关于2）式，若想正交与曲线，则向量放心应平行于曲线上该点的法线方向，（u,v）点的法线向量为

                        （df/dx, df/dy）

  在二维下，可以由该点法线向量确定该点的切线向量（垂直，点乘为0）,由上得切线向量t为

                        （df/dy, -df/dx）

因为向量s与法线平行，则其与切线垂直，得s dot t  = 0,即

                （dx-u, dy-v） dot  (df/dy, -df/dx) = 0

化简得：

                  df/dy *(dx-u)-df/dx * (dy-v)=0

综上所述，点到曲线的距离由下方程组确定：

                               f（u,v）=0

                              df/dy *(dx-u)-df/dx * (dy-v)=0

上式有点乱，df/dy是f对v求偏导，df/dx是f对u求偏导，(dx-u)中的dx是已知点的坐标，(dy-v)中的dy一样。