bzoj3994/洛谷P3327 莫比乌斯反演

前言

话说这是让我来学莫比乌斯反演的入坑题呢，然而学了莫比乌斯反演还是不会做=_=，连题解都看不懂QAQ
注意事项：
1.数恐症患者慎入！
2.所有除号如果没有作特殊说明，都是向下取整。
3.写的又臭又长，每一步都有一堆啰嗦的解释，因为本蒟蒻每一步都理解了半天（看神犇题解，一个等号看半个小时系列）
4.本蒟蒻发现自己学了假的懵逼钨丝繁衍，所以我重构了一遍这个博客

题目分析

第一步：预备的结论

首先，我们要证明一条结论：

d(nm)=∑i|n∑j|m[gcd(i,j)==1]

怎么证明呢？对于 nm 的每一个质因数 pi ，我们设 n=paii∗n′ , m=pbii∗m′ ,那么

d(nm)=∏i(ai+bi+1)

( ∏ 是累乘的意思）
这条结论意会一下就可以了吧？对了，我们记 pi 对 d(nm) 的贡献为 ai+bi+1 ,“贡献”这个词第三步要用
然后，我们看着要证的那个结论的等号右边部分，设 l 和 t 互质且都不含质因子 pi ，那么 (l∗paii,t),(l∗pai−1i,t)...(l,t)...(l,t∗pbi−1i),(l,t∗pbii) 都是互质的数对，而 l 和 t 的取法正好有 ∏k≠i(ak+bk+1) 种。
啊哈，得证了！

第二步：公式要变形

有了上面的结论，我们就可以玩公式变形了！

∑i=1n∑j=1md(ij)=∑i=1n∑j=1m∑k|i∑l|j[gcd(k,l)==1]

现在我们枚举每一个数对 (k,l) ,那么它们会被算多少遍呢？每一个 k 的倍数都会算一次 k ，每一个 l 的倍数又会算一次 l ,而用 nk 来表示 n 以内 k 的倍数有多少个是显然的，所以：

∑k=1n∑l=1mnk∗ml[gcd(k,l)==1]

然后大家应该知道莫比乌斯函数有一个神奇的性质（详见： 莫比乌斯反演的讲解）：

∑d|nμ(d)=1(n=1)

∑d|nμ(d)=0(n>1)

所以呢：

∑k=1n∑l=1mnk∗ml∑d|gcd(k,l)μ(d)

这样子如果 gcd(i,j)=1 的话后面那团就是1，否则为0.
然后这一步变形非常显然对吧：

∑k=1n∑l=1mnk∗ml∑d|k且d|lμ(d)

现在我们先枚举 μ(d) ，而哪些数会和 μ(d) 一起乘呢？根据上一个式子，显然是 d 的倍数啊，那么是几倍呢？枚举啊！

∑d=1min(n,m)μ(d)∑i=1nd∑j=1mdndimdj

第三步：转化成代码

已经变形的差不多了，再小小变一下得到最终公式：

∑d=1min(n,m)μ(d)(∑k=1ndndk)(∑l=1mdmdl)

现在我们令 g(x)=∑ii=1xi ，原式就是:

∑d=1min(n,m)μ(d)∗g(nd)∗g(md)

那么我们只要预处理 g(x) 就可以了！
现在观察一下 g(x) ，就会发现其实式子可以这么理解： x 以内有约数 i 的数的个数和，也就是可看作原题中 d(x) 的前缀和
要求 d(x) 的前缀和，可以求出每一个 d(x) ,也就是用线性筛求啦，要记录一下 c(x) :将 x 分解质因数后，最小质因数的指数。
那么参见第一步， x 的最小质因数对 d(x) 的贡献为 c(x)+1 ，如果还不懂怎么筛求看代码吧。

代码

经过刚才含辛茹苦地淬炼，蒟蒻终于写出一段精简的代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
const int maxn=50001;
int tot,lim=50000,T,n,m;
int pri[30001],mu[maxn],c[maxn];
ll d[maxn];bool is[maxn];
void init(){
    int i,j,k;
    mu[1]=c[1]=d[1]=1;
    for(i=2;i<=lim;i++){
        if(!is[i]){
            pri[++tot]=i;mu[i]=-1;
            c[i]=1;d[i]=2;
        }
        for(j=1;j<=tot;j++){
            k=pri[j]*i;if(k>lim)break;
            is[k]=1;
            if(i%pri[j]){ d[k]=d[i]*d[pri[j]];c[k]=1;mu[k]=-mu[i];}//有新的最小质因子了
            else {d[k]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);c[k]=c[i]+1;break;}
            //d:删去原来的贡献，添加新的贡献
        }
    }
    for(i=2;i<=lim;i++)d[i]=d[i]+d[i-1],mu[i]=mu[i]+mu[i-1];//前缀和
}
int main()
{
    int i,j;
    init();T=read();
    while(T--){
        n=read();m=read();
        if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;
        for(i=1;i<=n;i=j+1){
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));//不懂这句请看我的莫比乌斯反演讲解
            ans+=(mu[j]-mu[i-1])*d[n/i]*d[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}