信号与系统（三）：系统分析方法对比：微分方程 相量 傅里叶级数/变换 拉普拉斯变换

 

特点 方法	适用范围		数学意义		物理意义
	系统响应类型	输入信号类型	简化计算的方法	简化计算的原因
微分方程	全响应	可求特解的信号	—	—	特解：输入决定  + 通解：系统结构、初态决定  指数基
向量法	稳态响应	正弦周期信号	阻抗模型	变换成指数信号 化微分方程为代数方程	正弦周期信号是复平面上圆周运动的一个维度
傅里叶级数	稳态响应	周期信号	并没有简化计算...	以指数信号为基 化微分方程为代数方程	周期信号都是正弦信号的线性组合 周期信号具有离散频谱 系统对频谱进行纵向缩放：H(jw)之意义
傅里叶变换	稳态响应	可积信号	并没有简化计算...	以指数信号为基 化微分方程为代数方程	时限信号都是正弦信号的线性组合 周期信号具有连续频谱 系统对频谱进行纵向缩放：H(jw)之意义
拉普拉斯变换	全响应	任意输入信号	查表 卷积	以指数信号为基 化微分方程为代数方程	任意信号都是指数信号的线性组合 任意信号具有连续复频谱 系统对频谱进行纵向缩放：H(s)之意义 H(s)之意义： 快速获得特征方程，得到齐次微分方程通解， 用于判断系统稳定性      h(t)之意义： 任意信号的零状态响应是信号与冲击响应的卷积： 所谓冲击信号δ(t)，是脉冲信号序列P(t)的的极限。 所谓脉冲信号P(t),是只在0时刻以后足够短时间内不为0、而面积为1的信号(可以是矩形、三角形等，只要连续、面积为1即可)。根据一致收敛原理，脉冲信号宽度越窄，其响应y(t)=h(t)*P(t)越趋近于h(t)。

解线性阻抗电路正弦稳态响应的本质原理
    求解电容、电感、电阻组成电路的正弦稳态响应，可以根据基尔霍夫定律建立线性微分方程组，可简化成关于含sinwt coswt的线性代数方程。可通过转化成相量，将其进一步转化成复数域上的线性方程组，求得复函数解后，将其转回实函数解sinwt + coswt。

解线性阻抗电路周期稳态响应的本质原理
    将输入信号分解成复指数周期信号（傅里叶级数），用向量法获得各分量响应，根据线性叠加原理，合成输出响应信号。

解线性阻抗电路时限激励响应的本质原理
    求解电容、电感、电阻组成电路的频率响应，可以根据基尔霍夫定律建立线性微分方程组。可通过傅里叶变换，将该线性微分方程组转化成复数域上的线性方程组，求得复函数解后，通过傅里叶反变换将其转为实函数解。 

解线性阻抗电路任意激励响应的本质原理
    求解电容、电感、电阻组成电路的任意响应，可以根据基尔霍夫定律建立线性微分方程组。可通过拉普拉斯变换，将该线性微分方程组转化成复数域上的线性方程组，求得复函数解后，通过拉普拉斯反变换将其转为实函数解。

相量法       <  傅里叶级数/变换  <  拉普拉斯变换
具频率意义     具频率意义              收敛范围广  兼顾初态  简便

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                               微积分
                                  ↓
连续系统      线性常系数微分方程
                         ↑                ↑
                   广义函数     调和分析(傅里叶变换)
                         ↑         /      ↑
                   泛函分析     复变函数

离散系统      线性常系数差分方程
                                          ↑
                                     调和分析(傅里叶变换)
                                   /      ↑
                   泛函分析     复变函数

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以下仅讨论连续时间信号与系统

1）线性时不变系统的数学本质是什么？

系统的数学本质是，微分方程组线性时不变系统的数学本质是，线性常系数微分方程组所以，研究线性时不变系统，本质上是研究线性常系数微分方程组

2）为什么想到引入卷积变换？

级数展开是早期求解线性常系数微分方程的一种有效手段级数是一种离散无限维，卷积是一种连续无限维都是无限维，既然级数能有效处理线性常系数微分方程，那么卷积也应该可以。

问题的关键是选择合适的基函数。指数函数的微分不变形，使他成为处理微分方程问题的上佳选择。

3）为什么有了拉普拉斯变换，还要更弱的傅里叶变换？

傅里叶变换比拉普拉斯变换弱，但它比拉普拉斯变换更具有鲜明的物理意义。傅里叶变换是傅里叶级数的向连续无限维的推广，继承了傅里叶级数的物理意义。

早期的傅里叶级数是以实数域的正余弦函数为基，后来根据欧拉公式，以复指数函数为基。作为傅里叶级数推广而产生的傅里叶变换，当然也以复指数函数为基。不管拉普拉斯是怎么想到用复指数函数为基的，至少傅里叶是独立想到以正余弦函数为基的。

所以，不能简单地认为傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。同理，不能认为傅里叶变换能替代傅里叶级数，也不能认为傅里叶级数可以替代相量法。它们处理的信号范围不一样，但形式是相似的，揭示的本质是一样的。

4）如果说傅里叶变换具有物理意义，那怎么理解吉布斯效应？

5）为什么要引入狄拉克函数？

不引入狄拉克函数，有些理论要说清楚的话，就需要比较严格的数学证明。引入狄拉克函数，跳过了复杂的数学证明，简化了数学描述，清晰了物理意义，连贯了各种分析方法。狄拉克函数的本质是，一种极限运算，可以和积分交换顺序，其数学基础是广义函数论。

6）为什么引入离散时间变换？
数字信号通信的发展，促使人们研究离散信号与系统的特性容易想到，将处理连续信号与系统的方法，改造改造，应用到离散时间信号与系统，产生了相应的离散时间变换。

连接连续时间信号和离散时间信号的桥梁，是采样定理。