宋浩线性代数笔记

Miao-A-SongHao-Linear-Algebra-Notes

bilibili 宋浩老师 “惊叹号” 系列 《线性代数》网课 笔记及时间点目录
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前言

• 我发现吧，线代没记笔记真不行。
• 浩浩学习，天天向上。数学网课推荐宋浩老师的免费视频~~~ 此笔记与其线代网课相对应
• 如有遗漏或错误欢迎评论~ 欢迎补充完善Github项目⛄~
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⚗ 线性代数

☄ P1 二阶三阶行列式

⌚ 02:48 二阶行列式划线计算

• 行列式一定是方的

⌚ 15:00 三阶行列式划线计算

• 主对角线：╲
• 副对角线：╱

⌚ 22:29 N阶行列式预备知识

• 排列：1，2，……，n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数
  • 如3级排列：123，132，213，231，312，321
• 逆序：大数排在小数前面
• 逆序数：逆序的总数
• 奇/偶排列：逆序数为奇/偶
• 标准排列：123……N
• 对换：交换排列中的两个数
  • 做一次对换，排列奇偶性改变

⌚ 24:21 名场面：宋浩点名田莎莎等

☄ P2 n阶行列式

⌚ 00:55 N阶行列式计算

• 按行展开：
  • 行标取标准排列
  • 列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘
  • 共有N!项
  • 每一项的符号由列标排列的奇偶性决定，偶正奇负

⌚ 20:50 下三角行列式

• 右上方三角形区域元素全部为0
• 下三角行列式 = 主对角线元素相乘

⌚ 23:14 上三角行列式

• 左下方三角形区域元素全部为0
• 上三角行列式 = 主对角线元素相乘

⌚ 24:40 对角线行列式

• 只有主对角线上有数

⌚ 25:30 副对角线行列式

• 副对角线行列式 = (-1)^(n(n-1)/2) * 副对角线元素相乘

⌚ 31:00 三角行列式总结

⌚ 31:09 行列式三种定义

• 1.按行展开，符号由列标排列决定
• 2.按列展开，符号由行标排列决定
• 3.胡乱展开，符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定 (-1)^(N(i1,i2,……,iN)+N(j1,j2,……,jN)), i：行标，j：列标

☄ P3 行列式的性质

• 行列式对行成立的性质对列也成立

⌚ 00:25 性质一 转置

• 转置：把行按列写
• 行列式转置后值不变
• 行列式转置的转置等于本身

⌚ 11:48 性质二 两行互换

• 行列式两行互换，值变号

⌚ 20:38 性质三 两行相同

• 行列式两行相同，等于0

⌚ 23:10 性质四 行公因子k

• 行列式某行都乘以k，等于用k乘以这个行列式。即行列式某一行有公因子k，可往外提一次
• 若行列式所有元素都有公因子k，k外提N次

⌚ 28:05 性质五 两行成比例

• 行列式两行成比例，则行列式值为0
• 某一行全为0，则行列式为0

⌚ 34:20 性质六 和分解

• 若行列式某一行元素都可以表示为两项和，则行列式等于两个行列式相加

  | 1+2 2+3 |   | 1 2 |   | 2 3 |
  | 3   3   | = | 3 3 | + | 3 3 |
  | 4   6   |   | 4 6 |   | 4 6 |
  

⌚ 43:36 性质七 行叠加

• 某一行乘以一个数加到另一行上去，行列式值不变

⌚ 51:12 行列式值计算通用法

• 将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素
  • 利用性质七将左下角元素从左到右从上到下消为0

☄ P4 行列式按行展开

⌚ 04:36 余子式

• 在行列式中选中某个元素，去掉所在行列，剩余的元素构成的行列式叫这个元素的余子式M_ij，M代表余子式，i代表选中元素的行标，j列标，ij从1开始

⌚ 07:42 代数余子式

• 在余子式前面加上符号(-1)^(i+j)

⌚ 09:38 降阶：行列式按某一行/列展开

• 行列式的值 = 某一行所有元素乘以自己的代数余子式的积之和，列同理

⌚ 16:50 异乘变零定理

• 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零

⌚ 27:17 拉普拉斯定理

• k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式
• k阶子式的余子式：除去选中行列，其余行列形成的子式为k阶子式的余子式
• k阶子式的代数余子式：多个符号(-1)^所有行标与列标之和

⌚ 30:17 拉普拉斯展开定理

• 取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和 = 行列式值

⌚ 38:30 同阶行列式相乘

• 同阶行列式相乘的值 = 两个行列式做矩阵乘法后得到的行列式的值

☄ P5 行列式的计算（一）

⌚ 14:33 纯数字行列式计算

• 将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素

⌚ 21:50 已知行列式求余子式之和

• 构造新行列式

⌚ 30:06 对角线为x，其余为a的行列式计算技巧

☄ P6 行列式的计算（二）

⌚ 00:00 行列式计算基础思路

• 1.化成上三角
• 2.把某行/列尽可能多得化成0，然后展开

⌚ 01:05 三叉形行列式

• 加边法：在顶上加一行1，左边多出的一列（除第一行）为0，行列式值不变

⌚ 17:42 范德蒙德行列式

⌚ 40:42 反对称行列式

• a_ij = -a_ji
• 主对角线全为0
• 上下位置对应成相反数
• 奇数阶，行列式值 D = 0

⌚ 43:12 对称行列式

• a_ij = a_ji
• 主对角线无要求
• 上下位置对应相等

☄ P7 克莱姆法则

⌚ 00:05 解方程组

• n个方程，n个未知量
• D ≠ 0
• x_j = D_j / D，D为方程组系数构成的行列式，D_j代表把方程组值用于替换D的第j列得到的行列式，x_j代表解
  

⌚ 09:11 解齐次线性方程组

• n个方程，n个未知量
• 齐次：方程组值都为0，即无常数
• 齐次方程，至少有零解
• 若 D ≠ 0，只有零解；若 D = 0 <=> 有非零解
  

☄ P8 矩阵概念

⌚ 22:20 矩阵和行列式比较

• 矩阵可以是不方的
• 零矩阵：元素都是0的矩阵为零矩阵（有形状）
• 负矩阵：A的负矩阵为-A，所有元素取相反数
• 方阵：行数 = 列数
• 单位阵E：对角线上为1，其余元素为0，一定为方阵
• 同型矩阵：形状相同
• 矩阵相等：同型且值对应相等
  • 零矩阵不一定相等
• 方阵的主对角线：╲，次对角线：╱，不是方阵则没有

☄ P9 矩阵运算（一）

⌚ 00:00 名场面：宋浩免费赠送自制知识卡片

• 已收集到电子版

⌚ 02:50 矩阵加减法

• 只有同型矩阵才能相加减
• 对应元素相加减

⌚ 07:53 矩阵数乘运算

• 用k乘以矩阵，相当于把k乘以矩阵所有元素
  • 矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次（行列式是n次）

⌚ 13:58 矩阵乘法

• 前提：左矩阵列数 = 右矩阵行数
• 结果矩阵的行数 = 左矩阵行数，列数 = 右矩阵列数
• 结果矩阵第i行第j列的值 = 左矩阵第i行与右矩阵第j列对应元素乘积之和
• 宋氏七字：中间相等，取两头
• AB 一般≠ BA AB有意义，BA不一定有意义。若AB = BA，则称A，B可交换
• 左乘：在矩阵左边乘上一个矩阵，右乘同理
• AB = 0 ≠> A=0 或 B=0
• AB = AC，A≠0 ≠> B=C
• 与零矩阵左/右乘：零矩阵与任何矩阵相乘都为零矩阵
• 与单位阵左/右乘：AE = A, EA = A，此时E的形状可能不同
• (AB)C = A(BC)，AB顺序不可变
• (A + B)C = AC + BC，AB顺序不可变
• k(AB) = (kA)B = A(kB)，AB顺序不可变

☄ P10 矩阵运算（二）

⌚ 00:00 矩阵幂运算

• A^0 = E
• A^k1 · A^k2 = A^(k1+k2)
• (A^k1)^K2 = A^k1k2
• (AB)^k 一般≠ A^k · B^k
  • (AB)^2 = ABAB ≠ A^2 · B^2 = AABB
• (A + B)^2 = A^2 + BA + AB + B^2 ≠ A^2 + 2AB + B^2
  • (A - B)^2 ≠ A^2 - 2AB + B^2
• (A + E)^2 = A^2 + 2AE + E^2
• A^k需满足A为方阵

⌚ 23:49 矩阵转置

• A^T代表A的转置，把行按列写
• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (kA)^T = kA^T
• (AB)^T = B^T · A^T

☄ P11 特殊矩阵

• 数量矩阵：主对角线元素全部相等，其余元素为0
• 对角形矩阵：对角线上有值，其余为0
  • 对角线矩阵可以表示为diag(a1, a2, ……, an)，a1~n为对角线上的元素
• 三角矩阵
• 对称矩阵
  • 对于对称矩阵A，A^T = A
  • A,B对称，AB对称 <=> A,B可交换
• 反对称矩阵
  • 主对角线元素全部为0

☄ P12 逆矩阵（一）

⌚ 03:04 方阵的行列式

⌚ 12:54 方阵的行列式的性质

• |A^T| = |A|
• |kA| = k^n · |A|
• |AB| = |A| · |B|

⌚ 24:28 伴随矩阵

• 只有方阵才有伴随矩阵
• 伴随矩阵A^*：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放，构成矩阵
• AA^* = A^*A = |A|E
• |AA^*| = ||A|E|
  • |A|·|A^*| = |A|^n
  • |A^*| = |A|^(n-1)

☄ P13 逆矩阵（二）

• 逆矩阵：设A为n阶方阵，存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则A的逆矩阵A^-1 = B
  • 未必所有方阵均可逆，比如零矩阵
  • 如果方阵可逆，逆矩阵唯一

⌚ 10:58 方阵可逆条件

• 若矩阵满足|A| ≠ 0，则其非奇异，非退化，满秩
• A可逆 <=> |A| ≠ 0，A^-1 = 1/|A| · A^*
• 若A、B都为n阶方阵，|A| ≠ 0 且 (AB = E 或 BA = E)，则A^-1 = B

⌚ 21:16 求逆矩阵方法

• 1.伴随矩阵法
• 2.初等变换法（一般用这个）

⌚ 47:33 解矩阵方程常见错误总结

• 1.注意提的方向
• 2.矩阵不能减一个数字，需要补一个E
• 3.永远不要把矩阵放在分母上
• 4.一定要先判断矩阵可逆，再用逆矩阵

⌚ 54:42 逆矩阵性质

• A可逆，则A^-1可逆，且(A^-1)^-1 = A
• A,B均可逆，则AB可逆，（AB)^-1 = B^-1 A^-1
• A可逆，则
  • A^T可逆
  • (A^T)^-1 = (A^-1)^T
  • 若 k ≠ 0，(kA)^-1 = A^-1/k
• 若A可逆，|A^-1| = |A|^-1
• 若A可逆，A^*也可逆，(A^*)^-1 = A/|A|

⌚ 66:58 伴随矩阵A^*小专题

• 1.求代数余子式，按行求，按列放
• 2.AA^* = A^*A = |A|E
• 3.|A^*| = |A|^(n-1)
• 4.A^-1 = A^*/|A|, A^* = |A|A^-1
• 5.(A^*)^* = |A|^(n-2) A
• 6.((A^*)^*)^* = |A|^((n-1)(n-2)+1) A^-1

☄ P14 分块矩阵

⌚ 00:00 分块要求

• 横线/竖线一气到头

⌚ 04:34 标准形

• 从左上角开始的一串1不断，其余全是0
• 不一定是方阵

⌚ 09:34 分块矩阵加法

⌚ 10:39 分块矩阵数乘

⌚ 11:12 分块矩阵乘法

• 把每个子块看作元素，做矩阵乘法
• 前提：子块可乘

⌚ 20:25 分块矩阵转置

• 先把子块视作元素求矩阵转置，再对每个子块求转置

⌚ 23:23 拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题

• 例题：求特殊分块矩阵行列式

⌚ 39:08 分块矩阵的逆

• 对角分块矩阵求逆，直接把所有对角子块变为对应的逆矩阵

☄ P15 初等变换（一）

⌚ 00:00 三种初等变换

• 交换两行
• 用k(k≠0)乘某一行
• 某一行的L倍加到另一行上去
• 做初等变换要用箭头→，不能用等号=

⌚ 11:18 初等变换和行列式变换的对比

⌚ 24:50 矩阵化标准型

• 任何矩阵通过初等变换可以化为标准型

⌚ 29:45 矩阵等价

• A经初等变换可得B，则A与B等价
  • 反身性：A与自身等价，A≌A
  • 对称性：A≌B => B≌A
  • 传递性：A≌B, B≌C => A≌C
• 任何矩阵等价于标准型

☄ P16 初等变换（二）

⌚ 00:00 初等方阵

• 对E做一次初等(行/列)变换得到的矩阵为初等方阵

⌚ 09:15 初等方阵的行列式和逆矩阵

• 初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵
• 初等方阵的转置也是初等方阵

⌚ 14:56 初等方阵与矩阵做乘法

• 用初等变换得到的初等方阵左乘A，相当于对A实施同种初等行变换；右乘相当于列变换

⌚ 44:13 初等方阵用处

• 初等方阵是初等变换的载体
• 多个初等方阵可以化矩阵为标准形
  • 若A与B等价，存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ = B
• A可逆 <=> A的标准形为E
• A可逆 <=> A = 多个初等方阵乘积

☄ P17 初等变换（三）

⌚ 00:00 初等变换法求逆矩阵

• A^-1 = Q1Q2……Qt
=> A^-1 = Q1Q2……QtE, E = Q1Q2……QtA
  初等行变换法：将A通过一系列初等行变换得到E之时，施加相同的初等行变换在E可以使E变为A^-1。(A, E) → (E, A^-1)

⌚ 13:51 解题过程总结

• 注1.先第1列再第2列再第3列……
• 注2.写整行，对整行操作
• 注3.第一列处理好后，第一行不再主动参与运算，后面同理
• 注4.做变换时矩阵与矩阵直接用箭头连接
• 注5.只做行变换
• 注6.不管是否可逆，如坐标化不成E，则不可逆，因为初等变换对于矩阵行列式值的改变是非零倍

☄ P18 矩阵的秩（一）

⌚ 00:00 k阶子式

• k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式

⌚ 02:10 矩阵的秩

• 非零子式的最高阶数：秩

☄ P19 矩阵的秩（二）

⌚ 00:00 矩阵的秩

• 矩阵A的秩表示为rank(A) = r(A)
• 设A形状为(m, n)
  • 若r(A) = m，则行满秩
  • 若r(A) = n，则列满秩
  • 否则r(A) < min(m, n)，降秩
• 若A为方阵，满秩 <=> 行列式 ≠ 0 <=> A可逆

⌚ 07:35 求矩阵的秩

• r(A) = r <=> 有一个r阶子式不为0，所有r+1阶为0

⌚ 14:23 阶梯形矩阵

• 若有零行，零行在非零的下边
• 左起有首非零元左边零个数随行数增加而严格增加
• 宋氏阶梯折线法：横线可跨多个数，竖线只跨一个数

⌚ 32:09 行简化阶梯形矩阵

• 行简化阶梯形：是阶梯
  • 非零行的首非零元是1
  • 首非零元所在列的其余元素是0
• 宋氏三步走（判断行简化阶梯形）
  • 画折线，判断阶梯形
  • ○画出首非零元
  • 首非零元画竖虚线，开头是1其余都为0

⌚ 41:15 求秩方法

• 矩阵的秩 = 非零行的行数
• 初等变换不改变秩
• 矩阵求秩：A–初等变换–>阶梯形–数非零行的行数–>OK

⌚ 53:11 秩的性质

• 1.r(A) = r(A^T)
• 2.任意矩阵乘以可逆矩阵，秩不变
  • 设A(m, n), P为m阶可逆方阵, Q为n阶可逆方阵
  • 则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)，因为可逆矩阵可以表示为一系列初等方阵的积

⌚ 58:49 广告：宋浩打油诗

• 线性代数好深奥
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☄ P20 向量的定义

⌚ 10:11 向量定义

• 向量：N个数组成的有序数组，常用αβγ表示
• 维数：N
• 行向量：横着写，列向量：竖着写的向量
• 零向量：元素全为0
• 负向量：取相反数
• 向量相等：同维数，元素对应相等
• kα = 0 <=> k=0 or α=0

☄ P21 向量间的线性关系（一）

⌚ 00:00 线性关系

• 1.零向量可由任意向量组表示
• 2.向量组中任一向量可由向量组表示
• 3.任一向量都可由N维基本向量组表示

⌚ 19:41 向量组的等价

• 同维
• 两个向量组可以相互线性表示

☄ P22 向量间的线性关系（二）

⌚ 00:00 线性相关与无关

• 线性相关：α1,α2,...,αn是n个m维向量组，若存在一组不全为0的k1,k2,...,kn，使得k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0，则向量组线性相关，否则无关
• 向量组中两向量成比例，向量组必线性相关
• 含零向量的向量组，必线性相关
• 一个零向量必相关
• 一个非零向量必无关
• 一个向量α相关 <=> α=0

⌚ 16:37 扩大后向量组与原向量组

• 若向量组线性相关，增加向量后依然相关
  • 部分组相关 → 整体相关
  • 整体组无关 → 部分无关

⌚ 25:40 接长后向量组与原向量组

• 线性无关的向量组接长后也线性无关；线性相关的向量组截短后也线性相关

⌚ 37:20 行列式判断相关

• n个n维向量（维数=个数）构成的行列式D≠0，那么线性无关，否则相关

☄ P23 线性相关线性无关

⌚ 00:00 定理一

• α1,α2,...,αs相关 <=> 至少一个向量可由其余向量表示

⌚ 04:32 定理二

• α1,α2,...,αs无关，α1,α2,...,αs,βs相关，β可由α1,α2,...,αs唯一表示

⌚ 13:57 定理三：替换

• α1,α2,...,αs无关，可由β1,β2,...,βt表示，则s≤t
  • α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示，s>t，α1,α2,...,αs相关

⌚ 13:57 定理四

• 若向量个数m>向量维数n，则m个n维向量相关
  • n+1个n维向量相关

⌚ 21:22 推论

• 两个等价的线性无关组含向量个数相同

☄ P24 向量组的秩（一）

⌚ 00:00 极大线性无关组

• α1,α2,...,αs的部分组α1,α2,...,αr满足：
  • α1,α2,...,αr无关
  • α1,α2,...,αs中每个向量均可由α1,α2,...,αr表示
  • 任意r+1个都相关

⌚ 08:04 极大线性无关组性质

• 任意两个极大无关组，含向量个数相同
• 全是零的向量组，没有极大线性无关组
• 一个线性无关的向量组，它的极大无关组就是它本身
• 任何一个向量组和它的极大无关组是等价的

⌚ 12:45 向量组的秩

• 向量组的秩：极大无关组含向量个数，记作r(α1,α2,...,αs)
• 如果全是零向量，秩为0
• 0 ≤ r(α1,α2,...,αs) ≤ min(向量个数s，向量维数n)
• α1,α2,...,αr无关 <=> r = s
• α1,α2,...,αr相关 <=> r < s
• 若α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示，那么r(α1,α2,...,αs) ≤ r(β1,β2,...,βt)
  • 等价向量组有相同的秩

☄ P25 向量组的秩（二）

⌚ 00:00 行秩与列秩

• 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩

⌚ 07:06 定理

• r(AB) ≤ min(r(A), r(B))

⌚ 11:12 极大线性无关组的求法

• 初行变换不改变矩阵列向量组的线性关系
• 1. 不管原向量是行或列，均按列构成矩阵
• 2. 只做行变换，化行简化
• 3. 首非零元所在列做极大无关组
• 4. 其余向量表示系数直接写出

☄ P26 线性方程组

⌚ 00:00 二元一次方程与初等变换

• 求秩过程类似与求方程组的解，初等变换类似于消元

☄ P27 线性方程组有解判定

⌚ 00:00 有解判定

• 系数矩阵A=方程组左边系数构成的矩阵
• 增广矩阵A^-=A右边加上结果那一列
• 设m为方程组个数，n为未知数个数，当r(A) = r(A^-)，有解
  • r(A) = r(A^-) = n，唯一解
  • r(A) = r(A^-) < n，无穷解
• 当`r(A) ≠ r(A^-)’，无解
  
• 行简化阶梯型首非零元1的个数就是n

☄ P28 齐次方程组的解

⌚ 00:00 齐次方程组

• 一定有解，至少有零解
• r(A) = n <=> 唯一零解
• r(A) < n <=> 有非零解/无穷解
• 方程个数m < 未知量个数n，有非零解，r(A) ≤ min(m, n) = m < n
• m = n 有非零解 <=> |A| = 0 <=> r(A) < n <=> A可逆

☄ P29 方程组解的结构（一）

⌚ 00:00 齐次方程组解的结构

• 两解（η1，η2）相加仍是解
• 解的倍数kη仍然解

⌚ 06:54 基础解系

• 1. η1, η2, ..., ηs线性无关
• 2. 任何解可由η1, η2, ..., ηs表示

⌚ 08:56 齐次方程基础解系求法

• 1. 列出系数矩阵A
• 2. 只做初等行变换化为行简化阶梯型
• 3. 得到首非零元的表示
• 4. 对自由项取极大无关组（One-Hot）并带入所有x即可得到基础解系
• 解个数：n - r(A)
• 理解：齐次线性方程组其实就是对各个变量x1,x2,...,xn间关系的限制，通过初等行变换可以消除潜在的非自由变量，矩阵的秩指关系的最简表示个数，在此处代表非自由变量的个数，基础解系实际上是由自由变量决定的
• 齐次方程组的通解就是常数与基础解系积的和，可以表示任意一个解

⌚ 45:26 定理

• 若矩阵A_m*n和B_n*s满足AB = 0，则r(A) + r(B) ≤ n
  • 推理：
  • AB = 0 => A左乘B的每一列都为0 => B的每一列都是A的一组解 => r(B) = B的列秩 ≤ A的自由变量数 = n（A列数，也就是A中变量x的个数） - r(A)

☄ P30 方程组解的结构（二）

⌚ 00:00 导出组

• 设非齐次线性方程组为Ax = b，则其导出组为Ax = 0
• 设α为Ax = b的解，η为Ax = 0的解，则A(α + η) = b => α + η是Ax = b的解

⌚ 04:27 非齐次方程组解的结构

• 特解：满足非齐次方程组的随便一个解
• 非齐次方程组的解 = 特解 + 导出组的通解
• 求特解：化A^-至行最简阶梯型，得到首非零元表示，令所有自由变量为0，得到一个特解

☄ P32 矩阵的特征值与特征向量（一）

⌚ 00:00 矩阵的特征值与特征向量

• 设A为n阶方阵，对一个数λ，存在非零列向量α，使得Aα = λα
  • 则λ为一个特征值
  • α为λ对应的特征向量
  • λ可为0
  • α不可为0

⌚ 08:35 求特征值

• Aα = λα => (λE - A)α = 0
  • (λE - A)x = 0有非零解 <=> |λE - A| = 0
• 特征矩阵：λE - A
• 特征多项式：|λE - A|化简后
• 特征方程：|λE - A| = 0
• 特征值/特征根：x
• 若α为λ对应的特征向量，则cα也是，c为常数
• α对应唯一一个λ，λ可对应多个α
• 若α1, α2都为λ对应的特征向量，则c1α1 + c2α2是λ的特征向量

☄ P33 矩阵的特征值与特征向量（二）

⌚ 00:00 求特征值（计算含参行列式）思路

• 把某行尽可能化为零，按行展开
• 提含参数的公因子

⌚ 19:40 完整例题求特征值和特征向量

• 1. 列出|λE - A|，检查10秒
• 2. 通过|λE - A| = 0或|A - λE| = 0求出λ
  • 一般利用按行展开或提公因子的技巧直接得到一个根，然后计算剩下的根
• 3. 代入λ，得到矩阵λE - A
• 4. 化为行简化阶梯型
• 5. 写出同解方程组
• 6. 对自由未知量取One-Hot，得到基础解系
• 7. 引入c写出通解，所有c不能同时为0

⌚ 43:12 N阶三角形矩阵的特征值

• N阶三角形矩阵的特征值是主对角线上的元素

☄ P34 特征值与特征向量的性质

⌚ 00:00 基本性质

• A和A^T有相同的特征值，特征向量可能不同
• 若矩阵A的每行元素绝对值之和小于1，且每列元素绝对值之和也小于1，则所有特征值的膜小于1
• 韦达定理
  • 特征值之和（称为矩阵的迹tra(A)）等于对角线元素之和
  • 特征值之积等于行列式的值
• A可逆 <=> |A| ≠ 0 <=> A所有特征根不等于0 <=> A满秩 <=> 行/列向量线性无关 <=> Ax = 0只有零解
• 互不相同的特征值对应的特征向量线性无关
• 互不相同的特征值对应的所有线性无关的特征向量线性无关
• k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数 ≤ k
  • 若λ是A的单根，那么λ对应的线性无关的特征向量只有一个
  • n阶矩阵A所有线性无关的特征向量的个数最多n个

⌚ 47:49 其他性质

• 若λ是A的特征值
  • kλ是kA的特征值
  • λ^k是A^k的特征值
  • 哈密顿一凯莱定理：f(A)的特征值为f(λ)，此处f代表多项式函数
  • 1/λ是A^-1的特征值
  • |A|/λ是A^*的特征值

☄ P35 相似矩阵和矩阵可对角化的条件

⌚ 00:00 相似矩阵

• 若A、B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则A与B相似，即A ~ B
• A ~ A
• A ~ B <=> B ~ A
• A ~ B, B ~ C => A ~ C

⌚ 07:58 相似矩阵的性质

• 若 A ~ B，则：
  • A、B有相同的特征值
  • |A| = |B|
  • tra(A) = tra(B)
• 有相同特征值未必相似
• 若 A ~ B，则 A可逆 <=> B可逆，A^-1 ~ B^-1
• 若 A ~ B，则 A^m ~ B^m
• 若 A ~ B，则 r(A) = r(B)

⌚ 22:06 与对角形矩阵相似（对角化）的条件

• A相似于对角形Λ <=> A有n个线性无关的特征向量
  • 若P为特征向量的列组合(α1, α2, α3)，则P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3)
• 若A有n个互异的特征值，则A ~ Λ
• A ~ Λ <=> 对每个ri重特征根有ri个解（即ri个自由变量）

⌚ 61:47 利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂

☄ P36 实对称矩阵的对角化（一）

⌚ 00:00 实对称矩阵的对角化

• 所有实对称矩阵都能对角化

⌚ 02:00 内积

• 内积：两个向量对应相乘再相加得到的数
• α和α的内积(α, α) ≥ 0
  • (α, α) = 0 <=> α = 0
• (α, β) = (β, α)
• (kα, β) = k(α, β) = (α, kβ)
• (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)

⌚ 21:09 向量的长度/范数/模

• 范数：||α|| = √(α, α)
• 单位向量：模为1
• 单位化/标准化α：乘上1/||α||

☄ P37 实对称矩阵的对角化（二）

⌚ 00:00 模的性质

• ||α|| ≥ 0，||α|| = 0 <=> α = 0
• ||kα|| = |k|·||α||

⌚ 04:16 柯西-施瓦茨不等式

• |(α, β)| ≤ ||α||·||β||

⌚ 08:13 三角不等式

• ||α + β|| ≤ ||α|| + ||β||`

⌚ 09:55 正交/垂直

• (α, β) = 0, α ⊥ β
• (0, α) = 0
• 正交向量组：组中向量两两正交，不含零向量
• 标准正交向量组：是正交向量组，组内都是单位向量
• 若α1,α2,...,αs是正交向量组，那么α1,α2,...,αs线性无关

⌚ 25:10 施密特正交化

• 施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。（来自百度百科）

☄ P38 实对称矩阵的对角化（三）

⌚ 00:00 正交矩阵

• 正交矩阵A满足：A是n阶方阵，AA^T = E
• 若A是正交矩阵：
  • |A| = ±1
  • A^-1 = A^T，且A-1和A^T均正交
• 若A、B都是正交矩阵，AB也正交
• 若A正交，α、β为n维列向量，则(Aα, Aβ) = (α, β)
• A正交 <=> A的列(行)向量组是标准正交向量组

⌚ 21:38 实对称矩阵的对角化

• 实对称A的不同特征值的特征向量正交

⌚ 28:48 正交相似

• 若A、B是同阶方阵，存在正交矩阵P，使得P^-1AP = B，则A与B正交相似
  • 正交相似一定相似

⌚ 31:24 定理

• 若A实对称，一定存在正交矩阵Q，使得Q^-1AQ = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
  • n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量
  • 设A是n阶实对称矩阵，λi是它的一个ri重特征根，那么A对应于λi的特征向量一定有ri个

⌚ 32:34 汇总

• 给定实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使得Q^-1AQ = Λ
• 对于普通矩阵：
  • 如有n个无关的特征向量，可对角化P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
  • 若无，不能对角化
• 实对称矩阵一定能对角化：
  • 1. 求特征值
  • 2. 求特征向量
  • 3. 特征向量正交化、单位化
  • 4. 特征向量做成列构成Q
  • 5. 特征值与特征向量顺序对应
  • 第三步-正交化技巧：因为实对称的不同特征值的特征向量正交，因此仅需要正交化所有重根的特征向量

☄ P39 二次型定义

⌚ 00:00 判断二次型

• 所有项都是二次（包括平方项和交叉项）

⌚ 03:08 n元二次型

• 包含n个变量的二次型

⌚ 04:09 二次型的矩阵表达

• 1. 平方项系数直接做成主对角线元素
• 2. 交叉项的系数除以2放到俩个对称的相应位置上
• 3. X^TAX，A的秩叫二次型的秩
• 二次型的矩阵一定对称

⌚ 21:30 标准型

• 只有平方项

⌚ 24:40 线性替换

• f(X) = X^TAX，引入X = CY，则f(X) = Y^T(C^TAC)Y

⌚ 35:38 合同

• A、B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC = B，则A与B合同
• A与自身合同
• A合同于B <=> B合同于A
• A合同于B，B合同于C => A合同于C
• A、B合同:
  • r(A) = r(B)
  • 同时对称：A^T = A <=> B^T = B
  • 若A、B可逆，则A^-1与B-1合同
  • A^T与BT合同

⌚ 49:00 矩阵间关系总结

☄ P40 二次型化标准型（配方法）

⌚ 00:00 二次型化标准型的三种方法

• 配方法
• 初等变换法
• 正交替换法（同实对称矩阵的对角化）

⌚ 02:33 配方法

• 注意：
  • 先x1，再x2，x3，……
  • 利用y线性替换x，使得对y的方程满足标准型
  • 反向求x关于y的表达式
• 只有交叉项的题的解题技巧

☄ P41 二次型化标准型（初等变换法和正交替换法）

⌚ 00:00 初等变换法

• 1. 对A、E做同样的初等列变换
• 2. 只对A做相应的初等行变换（配套的）
• 3. A化成对角阵之时，E化成的就是C

╭ A ╮ ▁▁▁对整个矩阵做列变换  ▁▁▁╲ ╭ Λ ╮
╰ E ╯ ▔▔▔只对A做相应的行变换 ▔▔▔╱ ╰ C ╯

• 每次做完一套列行变换，上矩阵会变成对称的

⌚ 22:00 规范形

• 在标准型的基础上继续变换Λ，使得对角线变为1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0的形式（规范形）
• 惯性定理：任意一个二次型可以通过非退化的线性替换化为规范形
  • 其中1和-1的总数等于原来矩阵的秩，且个数由原矩阵决定
  • -1无法化成1
  • 正惯性指数：正项（1）的个数
  • 负惯性指数：负项（-1）的个数
  • 符号差 = 正惯性指数 - 负惯性指数
• 任意矩阵A与规范形合同
• 合同 <=> 有相同的秩、正惯性指数、负惯性指数

⌚ 31:06 正交替换

• 二次型A必然为实对称矩阵
  • 1. 求特征值
  • 2. 求特征向量，正交化、单位化
  • 3. 特征向量做成列，构成C；特征值按对应顺序做成对角阵
• 计算量大，用的比较少

☄ End 感谢宋老师~

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☄ Appendix 浩浩卡片

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