逆元

对于逆元其实说难不难，说简单也不简单。
概念：
对于a * x≡b（mod m）这个方程如果我们要求解的话其实是比较复杂的，可是如果我们可以求出a * y≡1（mod m）中的y的话，在上面那个方程上同乘以y就可以得到，x=b * y，是不是很神奇，我们也称y是a在mod m的条件下的逆元，写作x ^ -1。
注意：
如果m是p的倍数，那么m在mod p的意义下是没有逆元的！！！
求法：
对于我们的逆元求法有四种，这四种各有千秋，我们要根据题目来决定采用哪种方法。
拓展欧几里得：
不知道拓展欧几里得的点这
对于求解这个方程： a * y≡1（mod m），我们其实可以这么写a * y+k * m=1，（这个k为任意整数），这个其实就是我们的拓展欧几里得，当然前提是gcd（a，m）=1
代码：

#include
#include
using namespace std;
int x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
    int k;
    if(b==0)//边界 
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    k=x;//因为x和y都会改变，所以我们开个变量储存
    x=y;//直接代入我们的公式 
    y=k-a/b*y;
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);//我们要求a*y≡1(mod b) 
    exgcd(a,b);//要求a*x+b*y=gcd(a,b) 
    printf("%d",(x+b)%b);//因为求出来的可能是负数所以我们转化成正数 
    return 0;
} 

快速幂：
这个其实是用费马小定理来求的。
如果p是素数（也叫质数），对于任意的x ^ p≡x（mod p），这个定理就是费马小定理，当且仅当x无法被p整除可以得到，x ^ (p-1)≡1（mod p）（因为如果x可以被p整除的话x mod p一定为0，而不可能为1），然而我们再同除以一个x，可以得到x^-1≡x ^ （p-2）（mod p），所以我们只要求出x的p-2次方mod p就可以了，这就是快速幂。
代码：

#include
#include
using namespace std;
long long pow(long long a,long long b,long long mod)
{
	long long ans=1;
	while(b) 
	{
		if(b%2==1)//如果b是奇数 
			ans=(ans*a)%mod;//因为b最后一定会变为1，所以我们只要在这边计算ans就好了 
		a=(a*a)%mod;//a尝龟乘 
		b=b/2;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	long long x,p,ans;
	scanf("%lld %lld",&x,&p);//求x在mod p意义下的方程
	ans=pow(x,p-2,p);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

线性递推：
这个的时间复杂度是O（n）的，如果单单求一个逆元的话是比上面的都慢的，可如果要求多个的话这个就显现出来的优势。
我们线性递推其实就是找出逆元与逆元之间的关系，通过已知的逆元求出未知的逆元。
推导：
首先我们设p=k * i+r，然后可以知道k * i+r≡0（mod p）（因为k * i+r本身等于p，所以p mod p为0），然后我们两边同乘r^-1 * i ^ -1，就得到k * r ^ -1 +i ^ -1 ≡0（mod p），移项得到i ^ -1≡-k * r ^ -1（mod p），我们可以知道k其实就是p/i下取整，也就是⌊ p/i ⌋，r其实就是p%i，（这个好好想想是重点），所以我们得到公式：i ^ -1≡-⌊ p/i ⌋ * （p%i） ^ -1（mod p）
代码：

#include
#include
using namespace std;
long long inv[3000100];
int main()
{
	long long n,p;
	inv[1]=1;//边界，因为1的逆元一定是1 
	scanf("%lld %lld",&n,&p);//求1到n中所有在mod p的情况下的逆元 
	for(int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p+p)%p;//根据公式递推，加p的原因是把负数转化成正数 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",inv[i]);//输出答案 
	return 0;
 } 

线性递推求阶乘逆元：
为什么要有这个，因为组合数也可以用阶乘逆元求，所以我们也介绍一下。
推导：
我们定义inv[i]表示i！的逆元，
我们可以知道inv[i+1]=（1/（i+1）！） ^ -1，（因为csdn比较难渲染数学公式，所以如果不方便看的话可以自己在纸上写），我们同乘i+1就变成了，inv[i+1]*（i+1）=（1/i!） ^ -1=inv[i]，所以我们可以得到：inv[i+1] * （i+1）=inv[i]，所以我们先求出n！的逆元，再倒推回来。n！的逆元怎么求？用费马小定理或者拓展欧几里得。
代码：

#include
#include
using namespace std;
long long inv[3000100]; 
long long pow(long long a,long long b,long long mod)
{
   long long ans=1;
   while(b) 
   {
   	if(b%2==1)//如果b是奇数 
   		ans=(ans*a)%mod;//因为b最后一定会变为1，所以我们只要在这边计算ans就好了 
   	a=(a*a)%mod;//a尝龟乘 
   	b=b/2;
   }
   return ans;
}
int main()
{
   long long n,p;//求1到n在mod p意义下所有阶乘的逆元
   inv[1]=inv[0]=1;
   scanf("%lld %lld",&n,&p);
   for(int i=1;i<=n;i++)//我们先求一遍阶乘 
   	inv[i]=（inv[i-1]*i）%p;
   inv[n]=pow(inv[n],p-2,p);//用费马小定理求逆元 
   for(int i=n-1;i>=1;i--)//倒推 
   	inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   	printf("%lld\n",inv[i]); 
   return 0;
}

上面的是费马小定理的。

#include
#include
using namespace std;
long long inv[3000100],x,y; 
void gcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)//边界 
	{
		x=1;
		y=0;
		return ;
	}
	gcd(b,a%b);
	long long k=x;//因为x和y都会改变，所以我们开个变量储存 
	x=y;
	y=k-a/b*y;//直接代入我们的公式 
	return ;
}
int main()
{
	long long n,p;//求1到n在mod p意义下所有阶乘的逆元
	inv[1]=inv[0]=1;
	scanf("%lld %lld",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++)//我们先求一遍阶乘 
		inv[i]=（inv[i-1]*i）%p;
	gcd(inv[n],p);
	inv[n]=(x+p)%p;//用费拓展欧几里得求逆元 
	for(int i=n-1;i>=1;i--)//倒推 
		inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",inv[i]); 
	return 0;
}

上面是拓展欧几里得的。
以上就是逆元的所有知识了，希望大家看后可以有个理解。如果有不懂得欢迎留言。