Expectation（树上直径期望）（Codeforces gym 102155 2018 Petrozavodsk Winter Camp, B. Short Random Problem）

题目：给出一棵树，边权在$[0,1]$间随机，求直径长度的期望值。

1.枚举直径中点在那条边上。
直径中点落在点上的几率十分小，可以看做0.
所以我们枚举每一条边求直径中点在这条边上时的（概率*此时直径长度的期望）。
2.求出答案我们需要维护每个点到子树内的最长链的长度分布情况，
这个是个连续的量，我们需要用一个函数来描述他：
$f_u(x)=Pr[d(u)\le x]$，
比如，对于1->2->3这样一个简单的两个点的树。
$f_2(x)=x,f_3(x)=1$
$f_1(x)$分成了两段，
在$x\in [0,1]$，$f_1(x)=\frac{x^2}{2}$
在$x\in [1,2]$，$f_1(x)=2x-\frac{x^2}{2}-1$
所以简单的说我们的树形$DP$中要维护的答案是一个个分段函数。
要如何转移呢？
需要两个操作，把儿子的函数加上一条边后取最长链即取$\max$和加上一条边。
取$\max$很简单，$Pr[max(a,b)\le x]=Pr[a\le x]Pr[b\le x]$
就是两个函数乘起来。（注意所有的函数都是在整数处分段，这为我们写代码提供了便利）。
加上一条边很好想出来：$f(x)={\int }_{x-1}^{x}g(y)\mathrm{d}\mathrm{y}$
表示前面的和$\le y$，加入一个长为$x-y$的边。
注意这虽然是一个定积分，但是其上下界与$x$相关，所以其实是关于$x$的一个函数，而通过定积分与$y$相关的部分就不在了，所以，实际上的操作是把$g$的每一段都不定积分后得到$h(x)$，对每一段的$f(x)=h(x)-h(x-1)$，注意这里$h(x)$与$h(x-1)$是一个分段函数中不同的两段。
然后我们还要加入新的一段，因为定义域被拓展了$1$。但是对于最后的一段此时只存在$h(x-1)$，而$h(x)$是无定义的，发现最后一段一定是$f(p)=p-h(p-1)+常数$，稍微思考一下即可得出常数的计算方法。
有了这两个操作我们就可以通过树形$DP$求出对于一条边$(u,v)$，$u$往这条边的反方向的概率分布函数，$v$同理。

3.如何通过$f_u,f_v$求出中点在这条边上的概率*长度期望?
首先需要注意，$u$或$v$没有儿子的情况是需要特殊考虑的，因为我们默认分段函数的每一段都是一个段而不是一个点，所以没有儿子定义域就只有一个点那么就很烦。
考虑如何计算答案，如果u，v其中之一是叶子，不妨认为是v ，那么问题变成了：$l\ge d(u)$ ，求$E(l+d(u))$。由期望的线性性，可以对两部分分别算贡献，可以得到：
$E(l)={\int }_0^{1}l{f}_u(l)\mathrm{d}l$
表示枚举长度$l$,另一边$d(u)\le l$的概率是$f_u(l)$
$E(d(u))={\int }_0^1({\int }_0^{l}x{f}_u^{\prime }(x)dx)\mathrm{d}l$
这里用到了求导，这样可以微分求出长度$=x$的概率，然后再$\times x$，再外层枚举$l$。
这些操作虽然听起来很奇怪但是他们都是可以写出来的。（还很短。）
一般情况也这么推导即可。
$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include
#define maxn 105
#define mod 998244353
#define rep(i,j,k) for(int i=(j),LIM=(k);i<=LIM;i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j),LIM=(k);i>=LIM;i--)
#define Ct const 
#define pb push_back
using namespace std;

typedef vector<int> Poly;
typedef vector<Poly> Func;

int add(int b,int c){ return (1ll*b+c)%mod;/*int t=b+c;return t>=mod?t-mod:t;*/ }
int sub(int b,int c){ return (1ll*b-c)%mod;/*int t=b-c;return t<0?t+mod:t;*/ }
void inc(int &a,int c){ a = (1ll*a+c)%mod; /*((a+=c)>=mod)&&(a-=mod);*/ }

int n,inv[maxn]={1,1},C[maxn][maxn];
int info[maxn],Prev[maxn<<1],to[maxn<<1],xu[maxn],xv[maxn],cnt_e=1;
void Node(int u,int v){ Prev[++cnt_e]=info[u],info[u]=cnt_e,to[cnt_e]=v; }

Poly X;
Func F[maxn*3];

Poly operator +(Ct Poly &A,Ct Poly &B){
	Poly r(max(A.size() , B.size()));
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = add(i<A.size()?A[i]:0,i<B.size()?B[i]:0);
	return r;
}
Poly operator -(Ct Poly &A,Ct Poly &B){
	Poly r(max(A.size() , B.size()));
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = sub(i<A.size()?A[i]:0,i<B.size()?B[i]:0);
	return r;
}
Poly operator *(Ct Poly &A,Ct Poly &B){
	Poly r(A.size()+B.size()-1);
	rep(i,0,A.size()-1) rep(j,0,B.size()-1) inc(r[i+j],1ll*A[i]*B[j]%mod);
	return r;
}

Poly INT(Ct Poly &A){
	Poly r(A.size()+1);
	rep(i,1,A.size()) r[i]=1ll*A[i-1]*inv[i]%mod;
	return r;
}
Poly Shift(Ct Poly &A,int x){
	if(A.empty()) return Poly();
	Poly B(A.size()),r(A.size());
	rep(i,B[0]=1,B.size()-1) B[i]=1ll*B[i-1]*x%mod;
	rep(i,0,B.size()-1) rep(j,0,i) 
		inc(r[i-j],1ll*A[i]*B[j]%mod*C[i][j]%mod);
	return r;
}
Poly DER(Ct Poly &A){
	Poly r(A.size()-1);
	rep(i,1,A.size()-1) r[i-1]=1ll*A[i]*i%mod;
	return r;
}
void Print(Ct Poly &A){
	if(A.empty()) puts("zero");
	rep(i,0,A.size()-1) printf("%d%c",A[i]," \n"[i==A.size()-1]);
}
void Print(Ct Func &A){
	puts("");
	rep(i,0,A.size()-1) Print(A[i]);	
	puts("");
}

int Eval(Ct Poly &A,int x){
	int pw = 1, r = 0;
	rep(i,0,A.size()-1) inc(r , 1ll * pw * A[i] % mod) , pw = 1ll * x * pw % mod;
	return r;
}
Func operator -(Ct Func &A,Ct Func &B){
	Func r(max(A.size() , B.size()));
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = (i<A.size()?A[i]:Poly())-(i<B.size()?B[i]:Poly());
	return r;
}
Func operator +(Ct Func &A,Ct Func &B){
	Func r(max(A.size() , B.size()));
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = (i<A.size()?A[i]:Poly())+(i<B.size()?B[i]:Poly());
	return r;
}
Func operator *(Ct Func &A,Ct Func &B){
	Func r(max(A.size(),B.size()));
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = i>=A.size()?B[i]:i>=B.size()?A[i]:A[i]*B[i];
	return r;
}
Func operator *(Ct Func &A,Ct Poly &B){
	Func r(A.size());
	rep(i,0,r.size()-1) r[i] = A[i] * B;
	return r;
}

Func INT(Ct Func &A){
	Func r(A.size());
	rep(i,0,A.size()-1){
		r[i] = INT(A[i]);
		inc(r[i][0] , sub(i?Eval(r[i-1],i):0,Eval(r[i],i)));
	}
	return r;
}
Func Shift(Ct Func &A,int x){
	Func r;
	for(int i=0;i+x<(int)A.size();i++)
		r.push_back(i+x>=0?Shift(A[i+x],x):Poly());
	return r;
}
Func DER(Ct Func &A){
	Func r(A.size());
	rep(i,0,A.size()-1) r[i] = DER(A[i]);
	return r;
}

int Eval(Ct Func &A,int x){
	if(A.empty()) return 1;
	return Eval(A[max(0,min((int)A.size()-1,x))],x);
}

Func dfs(int u,int fr){
	Func &pu = F[fr];
	if(pu.empty())
		for(int i=info[u],v;i;i=Prev[i]) if(i^1^fr){
			Func pv = dfs(v = to[i] , i);
			int L = pv.size();
			Func a = INT(pv) , b = Shift(a,-1) , c(pv.size() + 1);
			if(pv.empty()) c = Func(1,X);
			else{
				rep(j,0,L-1) c[j] = a[j] - b[j];
				c[L].pb(add(mod-L,Eval(a,L))),c[L].pb(1);
				c[L] = c[L] - b[L];
			}
			pu = pu * c; 
		}
	return pu;
}

int calc(Func A){
	int r = 0;
	Func a = INT(A*X);
	inc(r,Eval(a,1));
	a = INT(INT(DER(A)*X));
	inc(r,Eval(a,1));
	return r;
}

int calc(Func A,Func B){
	int r = 0 , L = max(A.size() , B.size())+1 , lena = A.size() , lenb = B.size();
	for(;A.size() < L;) A.pb(Poly(1,1));
	for(;B.size() < L;) B.pb(Poly(1,1));
	
	Func a;
	a = INT(((Shift(B,1) - B) * Poly(2,1)- Shift(INT(DER(B) * X),1) + INT(DER(B) * X)) * DER(A) * X);
	inc(r,Eval(a,lena));
	
	a = INT((INT(DER(A)*Poly(2,1))-Shift(INT(DER(A)*Poly(2,1)),-1)-(A-Shift(A,-1))*X) * X * DER(B));
	inc(r,Eval(a,lenb));
	
	a = INT((Shift(INT(B*X),1)-INT(B*X)+INT(B)*X-Shift(INT(B),1)*X-B*Poly(1,inv[2]))*DER(A));
	inc(r,Eval(a,lena));
	return r;
}

int solve(int id){
	Func a = dfs(xu[id],id<<1|1) , b = dfs(xv[id],id<<1);
	if(a.empty()){
		if(b.empty()) return inv[2];
		else return calc(b);
	}
	else if(b.empty()) return calc(a);
	else return calc(a,b) + calc(b,a);
}

int main(){
	
	freopen("expectation.in","r",stdin);
	freopen("expectation.out","w",stdout);
	
	X.pb(0),X.pb(1);
	scanf("%d",&n);
	rep(i,C[0][0]=1,maxn-1) rep(j,C[i][0]=1,i) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	rep(i,2,maxn-1) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	rep(i,1,n-1){
		scanf("%d%d",&xu[i],&xv[i]);
		Node(xu[i],xv[i]),Node(xv[i],xu[i]);
	}
	int ans = 0;
	rep(i,1,n-1) inc(ans,solve(i));
	printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}