群论零基础入门。（包括轨道-稳定集定理，拉格朗日定理，burnside，polya定理

前言

本文对于群论的讨论范围仅限于ACM和OI（算法竞赛与信息学竞赛），并且内容比较基础，以证明为主，零基础读懂本文需要积极思考。

本文对于四大定理的讨论以基本概念理解为主。由于本部分变化略大，具体实现待我题量积累一下之后再给出。

1.群基础概念

1.1群定义及概念

1.1.1什么是群

给定一个集合和集合上的二元运算,如果满足以下条件：

（1）封闭性。对于任意的成立。

（2）结合律。对于任意成立。

（3）存在单位元。G中存在一个元素e，使得对于G中任意元素a，都有，元素e为单位元素。

（4）存在逆元。对于G中任意元素a，恒有一个，使得，则元素b为元素a的逆元，记作.

则称集合G是运算*下的一个群，记为（G，*）若G是一个有限集，则称（G，*）为有限群，其中有限群元素个数成为有限群的阶。记作|G|；若G是无限集，则称（G，*）是无限群。

如果群G中任意两个元素a，b满足交换律，则该群为Abel群。

1.1.2子群

设G在*下是一个群，若若H是G的非空子集且H在*运算下也是一个群，则称（H，*）是（G，*）的子群。

1.2 置换群

1.2.1置换与置换乘法

置换群非常重要，但是我们在学置换群之前，先来看看什么是置换。

n个元素1,2,3...n的一个置换为

表示元素1被1到n的某个数a1取代，2被1到n的某个除a1的数a2取代...n被1到n中除a1,a2,a3,...,an-1 的数an取代。

因此可以看出不同的置换共有n！个。

置换其实就表示元素位置的变化。接下来这个四元置换就表示，序列经过这个置换之后变成了

但是我们对再进行置换以后就得到了.所以置换金金表示元素的变化，对

也就有了置换的乘法：

则

也能看出群置换并不支持交换律。

1.2.2循环与对换

循环是表示置换的一种方法，能反映置换的结构，且便于运算。因此我们把m阶循环记为

特别的，当m= 2时，2阶循环叫做i和j的对换或换位。

举个例子