机器学习-朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯是经典的机器学习算法之一，也是为数不多的基于概率论的分类算法，多用于文本分类，比如垃圾邮件过滤。

一、相关知识

二、朴素贝叶斯分类算法详解

三、朴素贝叶斯分类算法实例讲解

四、拉普拉斯平滑

 

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一、相关知识

 1.条件概率

，表示事件B发生后事件A发生的概率。

由乘法定理可得：

2.全概率公式

设U为试验E的样本空间，A为E的事件，为U的一个划分，且,则

 3.贝叶斯公式

设U为试验E的样本空间，A为E的事件，为U的一个划分，且,,则

贝叶斯公式的意义：

1、假设导致事件A发生的原因有个，它们互不相容。

2、现在已知事件A已经发生了，若要估计它是由原因所导致的概率，则可由贝叶斯公式求出，即可从结果分析原因。

4、先验概率和后验概率

先验概率：泛指一类事物发生的概率，叫做先验概率。根据大数定律，先验概率可以通过各类样本出现的频率来进行估计。

后验概率：某个特性条件下一个具体的事物发生的概率叫做后验概率。

5、贝叶斯分类

设X是类标号未知的数据样本。设H为某种假定，，如数据样本X属于某特定的类C。对于分类问题，我们希望确定P(H|X)，即给定观测数据样本X，假定H成立的概率。贝叶斯定理给出了如下计算P(H|X)的简单有效的方法:

P(H)是先验概率，或称H的先验概率。

P(X|H)代表假设H成立的情况下，观察到X的概率。

P(H| X )是后验概率，或称条件X下H的后验概率。

也就是在已知P(X|H)的情况下如何求得P(H|X)。

  即：

 即： 

二、朴素贝叶斯分类算法详解

朴素贝叶斯分类的工作过程如下：

(1) 每个数据样本用一个n维特征向量X = {x1，x2，……，xn}表示，分别描述对n个属性A1，A2，……，An样本的n个度量。

(2) 假定有m个类C1，C2，…，Cm，给定一个未知的数据样本X（即没有类标号），分类器将预测X属于具有最高后验概率（条件X下）的类。也就是说，朴素贝叶斯分类将未知的样本分配给类Ci（1≤i ≤m ）当且仅当P( Ci |X )> P( Cj |X )，对任意的j =1，2，…，m，j≠i。这样，最大化P(Ci|X)。其P(Ci|X)最大的类Ci称为最大后验假定。根据贝叶斯定理:

(3) 由于P(X)对于所有类为常数，只需要P(X|Ci)*P(Ci)最大即可。

如果C i 类的先验概率未知，则通常假定这些类是等概率的， 即P(C1)=P( C2)=…=P(C m)，因此问题就转换为对P(X|Ci)的最大化（P(X|Ci)常被称为给定Ci 时数据X的似然度，而使P(X|Ci)最大的假设Ci 称为最大似然假设）。否则需要最大化P(X|Ci )*P(Ci )。注意，类的先验概率可以用P( Ci)= si /s计算，其中si是类Ci中的训练样本数，而s是训练样本总数。

(4) 给定具有许多属性的数据集，计算P (X | Ci )的开销可能非常大。为降低计算P(X|Ci)的开销，可以做类条件独立的朴素假定。

给定样本的类标号，假定属性值相互条件独立，即在属性间，不存在依赖关系。这样:

     (联合概率分布)       

 ，其中si是类Ci中的训练样本数，而s是训练样本总数。

其中的计算方式如下：

对于离散属性而言，其中si是类Ci中的训练样本数，在si中第k个属性上取值为的样本的个数为m：

  

对连续属性而言，通常假设连续属性均服从均值为μ、标准差为σ的高斯分布：

(5) 对未知样本X分类，也就是对每个类Ci，计算P(X|Ci)*P(Ci)。

样本X被指派到类Ci ，当且仅当P( Ci|X )> P( Cj|X )，1≤j≤m，j≠i，换言之，X被指派到其P(X|Ci)*P(Ci)最大的类。

优点：朴素贝叶斯法的基本假设是条件独立性，由于这一假设，模型包含的条件概率的数量大为减少，朴素贝叶斯法的学习与预测大为简化。因而朴素贝叶斯法高效，易于实现。

缺点：分类的性能不一定高。对输入数据的准备方式敏感。

适用数据类型：标称型数据

【标称型：一般在有限的数据中取，而且只存在‘是’和‘否’两种不同的结果（一般用于分类）

数值型：可以在无限的数据中取，而且数值比较具体化，例如4.02,6.23这种值（一般用于回归分析）】

三、朴素贝叶斯分类算法实例讲解

                     

对下面的情况作出决策：

                      

四、拉普拉斯平滑

为了避免其他属性携带的信息被训练集中未出现的属性值抹去，在估计概率值时通常要进行‘平滑’，常用‘拉普拉斯修正’。具体来说，令N表示训练集D中可能的类别数，Ni表示第i个属性可能的取值数，则

通过拉普拉斯平滑处理能够有效避免概率为零的情况。