【泛函分析MOOC笔记】（一）拓扑和拓扑空间

原帖太多LaTeX，悲剧了，不能直接复制过来了，只好重新整理一遍。

---

 ↑正文前先来一个专业的分割线↑

所谓拓扑，是一种数学结构。

对于一个集合 E，如果 E 的一个子集族 T 满足：

1. 空集和全集 E 属于 T；
2. T 中任意元素的并还是属于 T；
3. T 中任意有限个元素的交还是属于 T。

就称 T 为 E 上的一个拓扑（Topology） 。

称 (E,T) 为拓扑空间（Topological Space）。

 

任一集合 E 至少存在两个拓扑：

• 平凡拓扑：只有空集和全集 E 两个元素的子集族；
• 离散拓扑：E 的所有子集组成的子集族。 

开集（open set）在拓扑学中定义比在分析学中要宽。分析中，开集是指点都是内点的集合；拓扑学中，开集和拓扑是紧密相连的，它指的是拓扑的成员，具体由特定的拓扑决定。拓扑学的定义是蕴含分析学的定义的。

另外，闭集（closed set）可以视为补集是开集的集合。

点 x 的邻域（neighborhood）定义是：

存在一个包含点 x 的开集 V ，使得点集 U 包含开集 V，则称 U 为 x 的一个邻域。

拓扑学中的收敛（converge），是指对于点列 {x_n}，和某点 x 与它的任意邻域 U(x)，存在某个正整数 N，在n大于N之后，点列中所有的元素都属于邻域 U(x) ——就可以说点列 {x_n} 收敛到 x 了。

看上去和分析学中的收敛定义一样？哼哼，注意这可是拓扑空间哦。

在拓扑空间里，点列的收敛点有时候不止一个，可以是两个、三个、甚至多个。这也是拓扑空间反直观的地方。我总认为，真要在脑海中中给拓扑空间一个直观的图像，是不大可能的；但某些特定的拓扑空间的图像，可以有助学习理解——譬如分析学中的 n 维欧氏空间，也可以是拓扑空间的特例；拓扑学中的所有结论，在分析学中都可成立。

 还有拓扑空间的分割，对应有一类特殊的空间：T1、T2、T3、T4。

 只说明一下T2，它也称豪斯多夫空间（Hausdorff space），其定义是在空间中的每任意两点，都能找到各自的不相交邻域。

在豪斯多夫空间，收敛点就是唯一的了。

 因为欧氏空间也是豪斯多夫空间的一种，对应到欧氏空间，会更好理解什么是「邻域不交」。如图所示

↓再来一个专业的分割线↓ 

---

这门泛函MOOC酷毙了，开始上课后连点集拓扑和实变函数也顺带学了，一次性满足三个愿望啊！