带花树略解

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带花树是一种用于解决一般图最大匹配的算法，利用了匈牙利算法的思想。

前置知识

• 匈牙利算法
• BFS 树
• 并查集

定义

• 奇环/偶环：长度为奇数/偶数的环。
• 花（blossom）：在 BFS 过程中，遍历到的边与 BFS 树边构成的奇环；
• 柄（stem）：从 BFS 树根到奇环中深度最浅的点的路径；
• 蒂（tip）：奇环中在柄上的那个点。

算法思路

首先我们考虑匈牙利算法在 BFS 时如何工作：

当我们搜索到点 $u$，对于边 $(u,v)$：

• 如果 $v$ 没有被匹配，证明我们得到了一条增广路径；
  • 此时我们将增广路径上的每条边翻转，并结束 BFS；
• 如果 $v$ 不在树中，继续 BFS；
• 如果 $v$ 在树中，并且 $(u,v)$ 使图中出现偶环，忽略它；
• “$v$ 在树中，并且 $(u,v)$ 使图中出现奇环”（即图中出现了花）是不可能的，因为这是二分图。

故我们只需着重考虑如何处理奇环。

当我们发现一朵花时，我们将整朵花缩为一个新的节点，并且继续 BFS。

当我们在缩花后的图中寻找到一条增广路时，我们将花重新展开。显然花蒂连接的两条花上的边一定是未被匹配的，剩下的边一定是匹配与未匹配交替出现，于是不论我们在增广路上，花所连接的边接在哪个点上，我们总能在花蒂沿花到这个点的两个方向的路径中选在出一个，使得展开后增广路仍然是匹配与未匹配交替出现。

实现

具体实现时，并不需要真正地将花缩为一个点再展开。我们用并查集来模拟把花合并为一个节点，对于每个节点，维护一个 next 值代表我们展开花后，从花上的哪个方向走到花蒂处（next 类似于一个双向链表）

（待补）

代码

（待补）