浅谈莫队算法

我们首先来看一道例题：

Description

    有n个数字，给出k，以及m个查询。

    每次查询的格式是L，r，求L~r（左右包含）这个区间内数字的出现次数刚好是k的数字种数。

    范围：n<=30000，k<=n，m<=30000，1<=L

    输入n，k，m，然后n个元素，然后m行查询，对于每一个询问，输出正确的答案。

Example input：

5 2 3
1 2 3 2 2
1 2
2 4
1 5

Example output：

0     //没有
1     //2
0     //没有（2太多了，也不算）

我们来考虑一下这题的解法。

首先肯定可以万能暴力，每次L~r枚举。时间复杂度O（N*M）。

但是这样的暴力是没有前途的！我们来考虑一下新的暴力：

一开始指针区间0->0，然后对于一个查询，我们将Left指针逐步更新成新的L，Right同理。

比如一开始Left=2，Right=3，而L=1,r=5。

那么我们Left-1，并且把Left位置上的数字出现次数+1.

Right+1，把Right位置上的数字出现次数+1，直到Right=5为止。

框架：

int add(x)//把x位置的数字加入进来
{  

    cnt[x]++;

    if (cnt[x]==k) ans++;

}

int remove(x)//把x位置的数字移出去
{  

    cnt[x]--;

    if (cnt[x]==k-1) ans--;

}

然后以上面题目为例；这种方法需要离线处理，我们同理来看一下解法：

Left=1；
Right=0; 
ans=0;


for(int u=1;i<=b;u++)
{

    while (LeftL[u]){  Left--; add(Left);}

    while (Rightr[u]){  remove(Right); Right--;}

    printf("%d\n",ans);

}

这里说明一下，其实remove(Left);Left--;等等可以直接写成remove(Left--)等等，我这么写是为了理解。

分析一下时间复杂度，我们可以从Left和Right的移动量来分析：

每一个新的询问，Left和Right的移动量最大都会是O（N）

所以这样子的方法时间复杂度仍然是O（N*M），而且可能比上面的暴力更慢。

但是莫队算法的核心，就是从这么一个算法转变过来的。

现在来介绍一下莫队算法解决这道题:

对询问进行分块，我们知道m个询问，L和r的范围都在n以内，我们根据L和r的大小来对询问分块。

比如n=9，有以下的询问：

2 3

1 4

4 5

1 6

7 9

8 9

5 8

6 8

对于n=9，我们以根号n为每个块block的大小，这里block=3.

那么我们把1~3分成一组，4~6，7~9.

对于每一个询问（L，r），我们以L的范围来决定这个询问在哪一个块。

然后每一个独自的块内，我们让询问r更小的排在更前面。

那么上面的询问就可以分组成：

(2,3)/(1,4)/(1,6)和

(4,5)/(5,8)/(6,8)和

(7,9)/(8,9)

这一步的排序操作，我们可以在排序的时候加入判断条件cmp：

bool cmp(node x,node y){

    if ((x/block)!=(y/block))

        return x.L

排序之后，我们再来分析一下时间复杂度；接下来我们会看到神奇的事情！！

刚才分析此方法的时候，我们是从L和R的偏移量分析的；我们仍然用这种方法来分析。

考虑一下在同一个块的时候。由于L的范围是确定的，所以每次L的偏移量是O（√N）

但是r的范围没有确定；r的偏移量是O（N）。

那么从一个块到另一个块呢?

明显地，r我们不需要作考虑，仍然是O（N）。

而L明显最多也是2*√N，而且这种情况下，很快就会到下下一块。所以也是O（√N）

由于有√N（根号N）个块，所以r的总偏移量是O（N*√N）

而M个询问，每个询问都可以让L偏移O（√N），所以L的总偏移量O（M*√N）

注意了，时间复杂度分析的时候一定要注意，r的偏移量和询问数目是没有直接关系的。

而L则恰恰相反；L的偏移量我们刚才也说明了，它和块的个数没有直接关系。

所以总的时间复杂度是：

O（(N+M)*√N）

很神奇地看到了，我们仅仅改变了一下问题求解的次序，就让时间复杂度大幅度下降！

当然在这个说明过程中我们也看到了，事实上，莫队是一个必须离线的算法。

意味着一些题目如果强制在线，那么莫队就无能为力了。

先面贴一个莫队的典型题目

小Z的袜子

题目描述

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……

具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

然而数据中有L=R的情况，请特判这种情况，输出0/1。

输入输出格式

输入格式：

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

输出格式：

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

输入样例

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

输出样例

2/5
0/1
1/1
4/15

说明
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

题解

从所有袜子的数量中选取两个所组成的组合数作为分母，再从每种袜子的总数选取两个作为分子

所以分子为cnt[i]*(cnt[i]-1)的和    i为每种袜子 cnt记录的每种袜子的数量

分母为（r-l+1）*(r-l)

#include 
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